Signals and Systems

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Signals and Systems

信号与系统导论

信号分类

  • 直流信号：

    f(t)=Af(t) = A

  • 正弦信号：

    f(t)=sin⁡(ω0t+φ)f(t) = \sin(\omega_0 t + \varphi)

    满足

    T=2π∣ω0∣T=\frac{2\pi}{\left|\omega_0\right|}

  • 实指数信号：

    f(t)=Aeαtf(t) = Ae^{\alpha t}

  • 虚指数信号：

    f(t)=ejω0tf(t) = e^{\mathrm j\omega_0 t}

  • 复指数信号：

    f(t)=Aest,  s=σ+jω0f(t) = Ae^{st},\,\,s = \sigma + \mathrm j\omega_0

  • 抽样信号（Sa\rm Sa函数）：

    Sa(t)=sin⁡tt\mathrm{Sa}(t) = \frac{\sin t}{t}

    满足：

    {Sa(0)=1Sa(kπ)=0k≠0∫RSa(t)dt=π\begin{cases}\mathrm{Sa}(0) = 1\\ \mathrm{Sa}(k\pi) = 0 & k\neq 0\\ \int_{\mathbb R} \mathrm{Sa}(t)\mathrm d t = \pi\end{cases}

  • 单位阶跃信号：

    u(t)={1t>00t<0u(t) = \begin{cases}1 & t > 0\\0 & t < 0\end{cases}

    可以表示任意方波信号。
  • 单位冲激信号：

    δ(t)=du(t)dt\delta(t) = \frac{\mathrm d u(t)}{\mathrm d t}

    满足:

    {δ(t)=0(t≠0)∫−∞∞f(t)δ(t)dt=f(0)取样特性f(t)δ(t−t0)=f(t0)δ(t−t0)筛选特性\begin{cases}\delta(t) = 0 & (t \neq 0) \\ \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \delta(t)\mathrm d t = f(0) & \text{取样特性} \\ f(t)\delta(t - t_0) = f(t_0)\delta(t - t_0) & \text{筛选特性}\end{cases}

  • 单位斜坡信号：

    r(t)=∫−∞tu(τ)dτr(t) = \int_{-\infty}^t u(\tau)\mathrm d \tau

    也可以写成：

    r(t)=tu(t)r(t) = tu(t)

  • 单位冲击偶信号：

    δ′(t)=dδ(t)dt\delta'(t) = \frac{\mathrm d \delta(t)}{\mathrm d t}

    这是个奇函数。
    筛选特性：由于

    f(t)δ(t−t0)=f(t0)δ(t−t0)f(t)\delta(t - t_0) = f(t_0)\delta(t - t_0)

    两边同时求导，得到筛选特性：

    f′(t)δ(t−t0)+f(t)δ′(t−t0)=f(t0)δ′(t−t0)f'(t)\delta(t - t_0) + f(t)\delta'(t-t_0) = f(t_0)\delta'(t - t_0)

    积分得到取样特性：

    ∫Rf(t)δ′(t−t0)dt=−f′(t0)\int_{\mathbb R} f(t)\delta'(t - t_0)\mathrm d t = -f'(t_0)

  • 符号函数：

    sgn(t)=2u(t)−1\mathrm{sgn}(t) = 2u(t) - 1

信号变换

已知f(t)f(t)波形，求f(6−2t)f(6-2t)波形

f(t)→f(2t)→f(−2t)→f(−2(t−3))f(t)\rightarrow f(2t)\rightarrow f(-2t)\rightarrow f(-2(t - 3))

先缩短12\frac{1}{2}，再翻转，再右移33格。

离散信号

用f[k]f[k]表示，其中kk取整数点。

  • u[k]={1k≥00k<0u[k] = \begin{cases}1 & \textcolor{red}{k \geq 0} \\ 0 & k < 0\end{cases}
  • δ[k]=u[k]−u[k−1]\delta[k] = u[k] - u[k - 1]
  • u[k]=r[k+1]−r[k]u[k] = r[k + 1] - r[k]
  • r[k+1]=∑n=−∞ku[n]r[k + 1] = \sum_{n = -\infty}^{k} u[n]

系统

用T[f(t)]=y(t)T[f(t)] = y(t)表示。

  • 连续系统：输入输出都是连续时间信号；离散系统：输入激励和输出响应都是离散时间信号；
  • 无记忆系统：只依赖当前时刻输入。如果输入δ(t)\delta(t)，输出为kδ(t)k\delta(t)，则是无记忆系统；否则是记忆系统。
  • 线性系统：满足1. 均匀性：T[kf(t)]=ky(t)=kT[f(t)]T[kf(t)]=ky(t) = kT[f(t)]；2. 可加性：T[f1(t)+f2(t)]=y1(t)+y2(t)=T[f1(t)]+T[f2(t)]T[f_1(t) + f_2(t)] = y_1(t) + y_2(t) = T[f_1(t)] + T[f_2(t)]。
  • 时不变：满足T[f(t)]=y(t)  ⟹  T[f(t−t0)]=y(t−t0)T[f(t)] = y(t)\implies T[f(t - t_0)] = y(t - t_0)。
  • 因果：不会获得未来信息。比如说y(t)=x(2−t)y(t) = x(2-t)不是因果的，因为可能会获取xx信号未来的信息；y(t)=x(t)cos⁡(t−1)y(t) = x(t)\cos(t - 1)是因果的，因为不会获取xx未来的信息。
  • 稳定系统：输入有界，则输出也有界（对于任意时刻tt有界）。

信号分解

直流分量+交流分量

{f(t)=fAC(t)+fDC(t)fDC(t)=1b−a∫abf(t)dtfAC(t)=f(t)−fDC(t)\begin{cases} f(t) &= f_{AC}(t) + f_{DC}(t) \\ f_{DC}(t) &= \frac{1}{b - a}\int_a^b f(t)\mathrm d t\\ f_{AC}(t) &= f(t) - f_{DC}(t)\end{cases}

奇偶分解

f(t)=fe(t)+fo(t)fe(t)=12[f(t)+f(−t)]fo(t)=12[f(t)−f(−t)]\begin{aligned} f(t) &= f_e(t) + f_o(t) \\ f_e(t) &= \frac{1}{2}[f(t) + f(-t)]\\ f_o(t) &= \frac{1}{2}[f(t) - f(-t)]\end{aligned}

虚实分解

f(t)=fr(t)+jfi(t)f(t) = f_r(t) + \mathrm j f_i(t)

冲击信号分解

f(t)=∫−∞∞f(τ)δ(t−τ)dτ=f(t)∗δ(t)f(t) = \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau)\delta(t-\tau)\mathrm d \tau = f(t) * \delta(t)

f[k]=∑−∞∞[f(n)δ(k−n)]=f[k]∗δ(k)f[k] = \sum_{-\infty}^{\infty} [f(n)\delta(k - n)] = f[k] * \delta(k)

任意正交函数集分解

[T1,T2][T_1, T_2]上的正交函数集{gi}\{g_i\}，满足

∫T1T2gi(t)gj∗(t)dt={0i≠j1i=j\int_{T_1}^{T_2} g_i(t)g_j^*(t)\mathrm d t = \begin{cases} 0 & i\neq j\\ 1 & i = j \end{cases}

则定义在[T1,T2][T_1, T_2]上的f(t)f(t)可以表示为

f(t)=∑k=−∞∞akgk(t)f(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} a_kg_k(t)

其中

ak=∫T1T2f(t)gk∗(t)dta_k = \int_{T_1}^{T_2} f(t)g_k^*(t)\mathrm d t

证明：

∫T1T2f(t)gk∗(t)dt=∫T1T2∑n=−∞∞angn(t)gk∗(t)dt=∑n=−∞∞an∫T1T2gn(t)gk∗(t)dt=ak\begin{aligned} &\int_{T_1}^{T_2} f(t)g_k^*(t)\mathrm d t\\ =& \int_{T_1}^{T_2} \sum_{n=-\infty}^{\infty} a_ng_n(t)g_k^*(t)\mathrm d t\\ =& \sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n\int_{T_1}^{T_2} g_n(t)g_k^*(t)\mathrm d t\\ =& a_k \end{aligned}

常见的正交函数集：

  1. {δ(t−τ)∣τ∈R}\{\delta(t - \tau)\mid \tau\in \mathbb R\}（这是拓展后的正交基，是连续的正交基）。
  2. {ejωt∣ω∈R}\{e^{j\omega t}\mid \omega\in\mathbb R\}（同1，互为Fourier变换后的结果）。

LTI系统

指线性时不变系统。

LTI系统的时域分析

连续系统

满足

y(n)(t)+an−1y(n−1)(t)+an−2y(n−2)(t)+⋯+a0y(t)=bmf(m)(t)+bm−1f(m−1)(t)+⋯+b0f(t)\begin{aligned}&y^{(n)}(t) + a_{n-1}y^{(n-1)}(t) + a_{n-2}y^{(n-2)}(t) + \cdots + a_0y(t) \\ =& b_mf^{(m)}(t) + b_{m-1}f^{(m-1)}(t) + \cdots + b_0f(t)\end{aligned}

先求零输入响应yhy_h，再求零状态响应yfy_f，然后两者叠加。

y(t)=yh(t)+yf(t)y(t) = y_h(t) + y_f(t)

也就是说yfy_f是输入为f(t)f(t)，但是系统一开始为00的响应；

yhy_h是没有输入，但是系统一开始有一个初值的响应。

零状态响应yfy_f的计算

先计算冲击响应：

假设输入为δ(t)\delta(t)，则n>mn>m的时候，有解：

h(t)=(∑i=1nKiesit)u(t)h(t) = (\sum_{i=1}^n K_i e^{s_i t})u(t)

其中sis_i是特征根，也就是

xn+an−1xn−1+⋯+a0=0x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_{0} = 0

的解，现在不考虑重根，有重根就是对于的根乘上t,t2,⋯t, t^2, \cdots。

如果n≤mn\leq m，就有

h(t)=(∑i=1nKiesit)u(t)+∑i=0m−nδ(i)(t)h(t) = (\sum_{i=1}^n K_i e^{s_i t})u(t) + \sum_{i=0}^{m-n} \delta^{(i)}(t)

每次1. 先算出所有sis_i; 2. 带入微分方程求系数。

这样就得到了冲击响应h(t)h(t)。

而δ(t)→h(t)\delta(t)\rightarrow h(t)，根据时不变，有δ(t−τ)→h(t−τ)\delta(t-\tau)\rightarrow h(t-\tau)，再根据线性性，有f(τ)δ(t−τ)→f(τ)h(t−τ)f(\tau)\delta(t-\tau)\rightarrow f(\tau) h(t-\tau)，再根据可加性，有f(t)=∫∞f(τ)δ(t−τ)dt→∫∞f(τ)h(t−τ)dt=f∗h(t)f(t) = \int_\infty f(\tau)\delta(t-\tau)\mathrm d t \rightarrow \int_\infty f(\tau)h(t-\tau)\mathrm d t = f * h(t)

所以说

yf(t)=f∗h(t)y_f(t) = f * h(t)