PHYSICS1

机械振动

振动是周期性运动。

简谐振动

描述

表达式（振动式）

$$x(t) = A\cos(\omega t + \varphi)$$

• $A$：振幅；
• $\varphi$：初相；
• $\omega$：角频率/圆频率。

相位差：$(\omega_2t+\varphi_2)-(\omega_1t+\varphi_1)$

同频率相位差：$\Delta \varphi = \varphi_2 - \varphi_1$

同相：$\Delta\varphi = 2k\pi$；反相：$\Delta\varphi = (2k + 1)\pi$。

超前：$\Delta\varphi\in(-\pi, \pi]$，若$\Delta\varphi > 0$，则$2$比$1$超前$\varphi$。

可以看作圆周运动的投影，相当于振幅矢量以$\omega$的角速度旋转（振幅矢量法）。

速度/加速度

$$\begin{aligned} v =& \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = -A\omega\sin(\omega t + \varphi)\\ a =& \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = -A\omega^2\cos(\omega t + \varphi) \end{aligned}$$

可以看出$v$和$a$都是简谐振动，且可以推出：

$$a = -\omega^2 x$$

即

$$\color{blue}\frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2} + \omega^2x = 0$$

动力学

弹簧振子：$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$；

单摆：$\omega = \sqrt{\frac{g}{l}}$。

已知初始条件求振幅、相位：写出$x_0$和$v_0$的表达式，把三角消掉求出振幅，把振幅消掉反三角求得相位。

弹簧振子的能量：

$$\begin{aligned} E_k &= \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}mA^2\omega^2\sin^2(\omega t + \varphi)\\ E_p &= \frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2}kA^2\cos^2(\omega t + \varphi) \end{aligned}$$

由于$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$，有

$$\begin{aligned} E_k &= \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}kA^2\sin^2(\omega t + \varphi)\\ E_p &= \frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2}kA^2\cos^2(\omega t + \varphi)\\ \color{red}{E} &\color{red} = E_k + E_p = \frac{1}{2}kA^2\\ \overline{E_k} &= \frac{\omega}{2\pi}\int_{0}^{\frac{2\pi}{\omega}} \frac{1}{2}kA^2\sin^2(\omega t + \varphi)\mathrm{d}t = \frac{1}{4}kA^2 = \overline{E_p} \end{aligned}$$

复摆的简谐近似

$重力矩=转动惯量\times角加速度$

$$-mgr_c\sin\theta=J\frac{\mathrm{d}^2\theta}{\mathrm{d}t^2}$$

令$\omega^2=\frac{mgr_c}{J}$即

$$\frac{\mathrm{d}^2\theta}{\mathrm{d}t^2}+\omega^2\sin\theta=0$$

当$\theta$很小的时候，$\sin\theta\approx\theta$，可认为是简谐振动（关于$\theta$）。

如果$r_c = l, J=ml^2$（单摆），$\omega=\sqrt{\frac{g}{l}}$。

也可以用能量法：

振动的合成

同频率平行

使用振幅矢量法+余弦定理：

或者用三角变换推导。

不同频率平行

对于振动：

$$\begin{cases} x_1 = A\cos\omega_1t\\ x_2 = A\cos\omega_2t \end{cases}$$

应用和差化积，有

$$x = x_1 + x_2 = 2A\cos\frac{\omega_2 - \omega_1}{2}t\cos\frac{\omega_2 + \omega_1}{2}t$$

当$\left|\omega_2 - \omega_1\right|\ll \omega_2 + \omega_1$时，近似为振幅变动的简谐振动。

拍：$\left|A(t)\right| = \left|2A\cos\frac{\omega_2 - \omega_1}{2}t\right|$；拍频$\nu = \left|\omega_2 - \omega_1\right|$（注意不用除以$2$，因为有绝对值，周期减半。

同频率垂直

$$\begin{cases} x = A_1\cos(\omega t + \varphi_1)\\ y = A_2\cos(\omega t + \varphi_2) \end{cases}$$

暴力推导可得到（不要求）：

观察形式发现，振动轨迹为一个（斜着）的椭圆（可退化为正椭圆、线段等）。

1. $\varphi_1 = \varphi_2 + 2k\pi \implies\cos(\varphi_2 - \varphi_1) = 1, \sin^2(\varphi_2 - \varphi_1) = 0\implies \frac{x}{A_1} - \frac{y}{A_2}=0$（一、三象限直线）；
2. $\varphi_1 = \varphi_2 + (2k+1)\pi$，\frac{x}{A_1} + \frac{y}{A_2}=0$（二、四象限直线）；
3. $\varphi_2 - \varphi_1 =\frac{\pi}{2}\implies\cos(\varphi_2 - \varphi_1) = 0, \sin^2(\varphi_2 - \varphi_1) = 1\implies \frac{x^2}{A_1^2}+\frac{y^2}{A_2^2}=1$（正椭圆，顺时针转）；
4. $\varphi_1 - \varphi_2 =\frac{\pi}{2}\implies\cos(\varphi_2 - \varphi_1) = 0, \sin^2(\varphi_2 - \varphi_1) = 1\implies \frac{x^2}{A_1^2}+\frac{y^2}{A_2^2}=1$（正椭圆，逆时针转）。

不同频率垂直

图像会发生变化，如果$\omega_1\approx\omega_2$，会在椭圆、线段等之间缓慢变化；

如果$\omega_1$和$\omega_2$差整数倍，会得到Lissajou图形（封闭稳定轨道）。

振动的频谱分析（了解）

先不了解

阻尼振动

分为摩擦阻尼（$\mu$不等于$0$）和辐射阻尼（音叉）。

阻力：

$$R = -\gamma v = -\gamma \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$$

运动方程：

$$m\frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2} = -kx+R = -kx - \gamma\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$$

1. 弱阻尼，解这个二阶线性常系数微分方程，可以得到

$$x = A_0 e^{\beta t}\cos(\omega t + \varphi)$$

其中$\omega = \sqrt{\omega_0^2 - \beta^2}, \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}},\beta=\frac{\gamma}{2m}$，$\beta$为阻尼系数，小于$\omega_0$。

由于不是周期函数，严格来说不是振动。

准周期$T = \frac{2\pi}{\omega}$。

2. 临界阻尼（$\beta=\omega_0$）和过阻尼（$\beta > \omega_0$）

受迫振动/共振

例题

T1

1. $\cos\varphi = 0.5\implies \varphi = \plusmn\frac{\pi}{3}$；向正方向运动，$-\sin\varphi>0\implies \varphi = -\frac{\pi}{3}$。
   所以$x = 0.12\cos(\pi t -\frac{\pi}{3}), v = -0.12\pi\sin(\pi t - \frac{\pi}{3}), a = -0.12\pi^2\cos(\pi t - \frac{\pi}{3})$。
2. 代入$t = 0.5$即可。
3. 画图。

T2

以$C$为支点，有（向右为正）

$$\begin{aligned} &\begin{cases} \frac{\sqrt 3L}{2}\cdot f + x\cdot mg = 0\\ f = ma\\ \end{cases}\\ \implies &\frac{\sqrt 3L}{2}\cdot a + x\cdot g = 0 \end{aligned}$$

与

$$\frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d} t^2} + \omega^2 x = 0$$

比对，可知是$\omega = \sqrt{\frac{2g}{\sqrt 3L}}$的简谐振动。

T3

法1（不好）:

1. 动量守恒得出$v_0=\frac{m}{m + M}\sqrt{2gh}$；
2. 计算新平衡点与旧平衡点的距离$\Delta x = \frac{mg}{k}$；
3. 新角频率$\omega = \sqrt{\frac{k}{M + m}}$，振幅$\frac{1}{2}kA^2 = \frac{1}{2}k\Delta x^2 + \frac{1}{2}(M + m)v_0^2\implies A = \sqrt{\frac{m^2g^2}{k^2}+\frac{2m^2gh}{(M+m)k}}$；
4. $t = \frac{\arcsin\frac{\Delta x}{A} + \frac{\pi}{2}}{\omega}$。

法2（好，省去$A$的计算）：

1. 动量守恒得出$v_0=\frac{m}{m + M}\sqrt{2gh}$，位移$x_0 = -\frac{mg}{k}$；
2. 新角频率$\omega = \sqrt{\frac{k}{M + m}}$；
3. $x_0 = A\cos\varphi$，$v_0 = -A\omega\sin\varphi\implies \tan\varphi = \frac{-v_0}{x_0\cdot \omega} = \frac{kv_0}{mg\omega}\implies \varphi = \pi + \arctan\frac{kv_0}{mg\omega}$；
4. $t = \frac{2\pi - \varphi}{\omega}$。

T4

{height=200}

1. 假设摆动角度为$\theta$（右正），则$f = -ka\sin\theta \approx -ka\theta\implies M_f \approx -ka^2\theta$；
2. $M_m = -mg\cdot L\sin\theta\approx -mgL\theta$
3. $M=M_f+M_m=mL^2\cdot \beta\implies \frac{ka^2+mgL}{mL^2}\theta+\beta=0\implies \omega = \sqrt{\frac{ka^2+mgL}{mL^2}}\implies T = 2\pi \sqrt{\frac{mL^2}{ka^2+mgL}}$

T5

$\left|\nu_2 - \nu_1\right|=1/0.5=2\mathrm{Hz}$；
$\nu_2$减小，$\nu$减小，所以原先超过$440\mathrm{Hz}$。

T6

用振幅矢量法：

T7

阻尼对振幅影响大，对周期影响小。

T8

T9

机械波

分类：横波（波峰、波谷），纵波（稠密区域，稀疏区域）

水面波又是横波又是纵波，和深度有关，作圆周或者椭圆周运动。

概念

1. 波线：传播方向；
2. 波阵面：同时到达的位置连成的面；一般（均匀介质中）与波线垂直；
3. 波前：最前面的波阵面；
4. 简谐波：每一点都是同频率的简谐振动；
5. 相速度（波速）$u$：经过一个周期的距离和时间之比；可以超光速。
6. 角波数：$k=\frac{2\pi}{\lambda}$，$\lambda$是波长。与角频率$\omega=\frac{2\pi}{T}$相对，一个对应于位移，一个对应于时间；
7. 行波：运动状态沿着固定方向传播；筑波：不一定传播运动状态。
8. 运动学方程（波动式）：
   已知$x=0$运动方程为$y_0=A\cos(\omega t + \varphi)$，则在任意$x$位置，$t$时刻和$x=0$的$t-\frac{x}{u}$时刻运动状态相同，故$y=A\cos(\omega (t - \frac{x}{u}) + \varphi)$（波动式）。
   其他形式：

   $$\begin{aligned} y&=A\cos(\omega(t-\frac{x}{u})+\varphi)\\ &=A\cos(2\pi\nu(t - \frac{x}{u})+\varphi)\\ &=A\cos(2\pi(\frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda}) + \varphi)\\ &=A\cos(k(\frac{\lambda}{T}t - x) + \varphi)\\ &=A\cos(k(ut - x) + \varphi)\\ \end{aligned}$$

   也可以：

   $$\begin{aligned} y&=A\cos(\omega(t-\frac{x}{u})+\varphi)\\ &=A\cos(\omega t - \frac{2\pi}{T}\cdot\frac{T}{\lambda}x+\varphi)\\ &=A\cos(\omega t - kx+\varphi) \end{aligned}$$

波动式的物理意义

波可以表示为双变量函数$y = f(t - \frac{x}{u})$。（波动式包含了所有运动学信息）

简谐行波的波动式：

$$y=A\cos(\omega (t - \frac{x}{u})+\varphi)$$

1. 固定$x=x_0$获得$x_0$处的振动式；
2. 固定$t=t_0$获得$t_0$时刻的波形图。
3. 固定$\Delta x = u\Delta t$，则

   $$\begin{aligned}y(x+\Delta x, t + \Delta t) &= A\cos(\omega(t+\Delta t - \frac{x + u\Delta t}{u}) + \varphi)\\ &=A\cos(\omega(t-\frac{x}{u}) + \varphi)=y(x,t)\end{aligned}$$

   反映了振动状态的传播。

波动方程（不要求）

纵波波速：$u = \sqrt\frac{E}{\rho}$; 横波波速：$u = \sqrt\frac{G}{\rho}$。$E$，$G$和介质有关，分别为杨氏模量（长度压缩）和剪切模量（剪切力）。对于固体一般有$E>2G$，而在流体中一般$G=0$（流体不可承受剪切）。所以地震波纵波先到。

由于水平方向平衡，有$$T_1\cos\theta_1=T_2\cos\theta_2=T$$

竖直方向：$$\begin{equation}T_y = T_2\sin\theta_2-T_1\sin\theta_1 = T(\tan\theta_2-\tan\theta_1)\end{equation}$$

综合$\tan\theta_1 = \frac{\partial y}{\partial x}|_{x}$，$\tan\theta_2 = \frac{\partial y}{\partial x}|_{x+\Delta x}$，有

$$\begin{aligned}(1)&=T(\frac{\partial y}{\partial x}\bigg|_{x+\Delta x} - \frac{\partial y}{\partial x}\bigg|_{x})\\&=T\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}\bigg|_{x+\theta\Delta x}\Delta x=\rho_l\Delta x\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}\end{aligned}$$

令$\Delta x\to 0$，得到：

$$\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}-\frac{T}{\rho_l}\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}=0\tag{2}$$

这就是波动方程。

根据$$\begin{cases}\frac{\partial^2 y}{\partial t^2} = -\omega^{2y\\frac{\partial}2 y}{\partial x^2} = -k^{2y\\omega=ku\end{cases}\implies\frac{\frac{\partial}2 y}{\partial t^{2}}{\frac{\partial}2 y}{\partial x^2}}=u2$$

有$$(2)\implies u=\sqrt{\frac{T}{\rho_l}}$$

波的色散

由于波速不同而分开来的波，如水面波、分光镜。机械波一般不会色散（速度一样）。

波的能量和强度

以横波为例，设$$y=A\cos(\omega t - kx)$$

{height=300}

对于$x$处$\Delta x$的绳段，设作小幅振动（T基本水平，且$\frac{\partial y}{\partial x} = o(1)$），有$$\begin{cases}\Delta E_k = \frac{1}{2}\rho_l\Delta xv^2=\frac{1}{2}\rho_l\Delta x(\frac{\partial y}{\partial t})^2\\Delta E_p = T[\Delta x\sqrt{1+(\frac{\partial y}{\partial x})^2}-\Delta x]\sim T\Delta x(\frac{1}{2}(\frac{\partial y}{\partial x})^2)=\frac{1}{2}T\Delta x(\frac{\partial y}{\partial x})^2\end{cases}$$

将$\frac{\partial y}{\partial t}$和$\frac{\partial y}{\partial x}$代入得到：

$$\begin{cases}\Delta E_k = \frac{1}{2}\rho_l\Delta xA^2\omega^2\sin^2(\omega t - kx)\\\Delta E_p = \frac{1}{2}T\Delta xA^2k^2\sin^2(\omega t - kx)\end{cases}\tag 1$$

根据$$\begin{cases}u = \frac{\omega}{k}\u=\sqrt\frac{T}{\rho_l}\end{cases}\implies \omega^2\rho_l=k2T\tag 2$$

结合$(1)$$(2)$得到$$\Delta E_k = \Delta E_p = \frac{1}{2}\rho_l\Delta xA^2\omega2\sin^2(\omega t-kx)$$

所以总能量$$\Delta E = \rho_l\Delta xA^2\omega2\sin^2(\omega t-kx)$$

能量密度：单位体积的能量

$$\begin{aligned}\varepsilon&=\varepsilon_p+\varepsilon_k=\frac{\Delta E}{\Delta x\cdot S}=\rho A^2\omega^2\sin^2(\omega t-kx)\\\overline{\varepsilon}&=\frac{1}{2}\rho A^2\omega^2\end{aligned}$$

所以势能和动能同时达到最大，能量一堆一堆传播。

能流：单位时间流过的能量（$P$）；

能流密度（矢量）：单位时间通过的能量密度（单位面积能流）

$$i=\frac{P}{S}=\frac{\varepsilon uS}{S}=\varepsilon u\implies \vec{i}=\varepsilon\vec{u}$$

波的强度（波强）：能流密度的时间平均

$$I=\overline i =\frac{1}{T}\int_0^T\varepsilon u\mathrm{d} t=\frac{1}{2}\rho A^2\omega^2u=\frac{1}{2}zA^2\omega^2$$

其中$z=\rho u$（波阻抗）。

利用$I=\frac{1}{2}\rho A^2\omega^2 u$，由于$\rho, \omega, u$均不变，可以得到：

$$\begin{cases} A=constant \qquad\text{(平面波)}\\ A\propto \frac{1}{\sqrt r} \qquad\text{(圆柱波)}\\ A\propto \frac{1}{r} \qquad\text{（球波）} \end{cases}$$

声强（不要求）：声音的波强；人只能获取$I\in[10^{-12}, 1]\mathrm{W/m^2}$，$\nu\in[20, 20000]\mathrm{Hz}$

声强级（不要求）：$L=10\cdot \lg\frac{I}{I_0}$（单位：分贝$\mathrm{dB}$）；其中$I_0=10^{-12}\mathrm{W/m^2}$。

惠更斯原理

波上每一点都是新的波源，每一点波阵面的公切线（包迹）就是新的波阵面。

这可以解释波的衍射、反射和折射。

衍射

{height=300}

折射

假设击中界面$\Delta t$时间，则在介质$1$能走$u_1 \Delta t$的路程，在介质$2$走了$u_2\Delta t$的路程，那么就有：

$$\begin{aligned} &\frac{u_1\Delta t}{\sin i}=\frac{u_2\Delta t}{\sin\gamma}\\ \implies&\frac{\sin\gamma}{\sin i}=\frac{u_2}{u_1}=\frac{n_1}{n_2}\\ \implies& n_1\sin i = n_2\sin\gamma \end{aligned}$$

例题

T1

$$y(x,t)=\frac{b^3}{b^2+u^2(t+\frac{ax}{u})^2}$$

所以

$$y(x,t)=y(x-\frac{u}{a}\Delta t,t+\Delta t)$$

所以波速$v=\frac{\Delta x}{\Delta t} = -\frac{u}{a}$，向左。

T2

$(1)$ $x$处的点会超前$\frac{x}{u}$的时间，所以波动式为：$$y=3\cos4\pi(t+\frac{x}{20})$$

$(2)$ $5m$处的为原点，则波动式为：$$\begin{aligned}y&=3\cos4\pi(t+\frac{x\plusmn 5}{20})\&=3\cos(4\pi(t+\frac{x}{20})+\pi)\&=3\cos(4\pi(t+\frac{x}{20})-\pi)\end{aligned}$$

T3

$T>1s$，所以可以直接认为传播$\frac{1}{4}$周期，有：$A=0.01$，$u = 0.02$，$T=2$，所以原点处振动方程：$$y=0.01\cos(\pi(t-50x)+\frac{\pi}{2})$$

A点振动式：$$y=0.01\cos(\pi t)$$

狭义相对论

伽利略变换和牛顿的绝对时空观

牛顿的绝对时空观：时空的测量与参考系无关。

力学相对性原理：力学规律在惯性系下形式相同。这意味着在任何惯性系下无法确定所在惯性系的速度。

根据伽利略变换，若$S'$参考系相对$S$参考系以$\vec u$的速度运动，则有

$$\begin{aligned} \vec x' &= \vec x - \vec ut\\ t'&=t \end{aligned}$$

牛顿绝对时空观认为，力、质量、加速度是绝对的，即：

$$\begin{aligned} \vec g' &= \vec g\\ \vec a' &= \vec a\\ m' &= m \end{aligned}$$

这说明，一切惯性系都是平权的。

麦克斯韦方程

1865年，麦克斯韦得出：

$$c=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}}\approx 3.0\times 10^8 (m / s)$$

其中$\varepsilon_0$和$\mu_0$都是与参考系无关的常数。

根据伽利略变换，光的传播将不满足相对性原理（各向同性）。

于是人们认为麦克斯韦方程只在以太系内成立。

迈克尔逊-莫雷实验

1887年，通过干涉仪测量以太系运动速度，但得到零结果（干涉条纹未移动）。

还有一些电磁学理论（和麦克斯韦理论相关）和牛顿绝对时空观矛盾。

伽利略变换、相对性原理和麦克斯韦电磁学理论之间存在矛盾。

爱因斯坦的假设

1. 一切物理规律在任何惯性参考系中形式相同；
2. 光在真空中传播的速度具有相同的数值，和光源速度和惯性系无关。

同时性的相对性（钟慢原理）

在一个参考系中是同时，在另一个参考系中不一定

规律：一个参考系中同事发生的两个事件，相对这个参考系运动的另一个参考系看，后方事件先发生。

动钟变慢原理：

{height=200} {height=200}

在$S'$参考系中，光反射回到同一地点所用时间（固有时）$\tau_0=\frac{2d}{c}$。

此时$S'$参考系相对$S$参考系以$u$速度运动。

在$S$参考系中，光的回弹事件发生时间为$\Delta t$，有关系$$\Delta t = \frac{2l}{c}=\frac{2}{c}\sqrt{d^2+(u\frac{\Delta t}{2})^2}$$

解得：

$$\Delta t = \frac{2d}{c}\cdot\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{u^2}{c^2}}} = \frac{\tau_0}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}$$

所以有$\Delta t\geq\tau_0$，也就是说在$S'$系中的时钟在$S$参考系中观察会变慢（经历时间更短）。

不仅是光脉冲钟，一切钟都会发生这样的相对论效应。

注意：在$S$参考系中的人认为$S'$参考系的钟变慢，但$S'$参考系的人也会认为$S'$参考系的钟变慢。

比如说$S$参考系的人在观察到$S'$参考系的钟跳了$4$下时，$S$参考系的钟跳了$5$下，而$S'$参考系的人观察到$S'$参考系的钟跳了$4$下时，$S$参考系的钟还没有跳到$5$下，这并不矛盾，因为同时性是相对的，$S$参考系的人认为这两个事件同时发生，而$S'$参考系的人不这么认为。

爱因斯坦认为：任意物体在时空中以光速运动。

长度收缩原理

在$S'$参考系中，经过时间$\Delta t'$，$B'$与$x_1$重合变成了$A'$与$x_1$重合，则长度$l'=u\Delta t'$。在$S$参考系中，经过时间$\Delta t$，发生以上两个事件，有$l=u\Delta t$。

由于在$S$参考系中，两个事件发生于同一地点，$\Delta t$是固有时，所以有关系$\Delta t' = \frac{\Delta t}{\sqrt{1 - \frac{u^2}{c^2}}}$，所以有$l' = l\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{u^2}{c^2}}}$，则$l'>l$。而$l'$是原长，所以说运动尺长度变短。

洛伦兹变换

位移变换公式

根据长度收缩原理，有：

$$x = ut + \frac{x'}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}$$

即$$x’ = \frac{x-ut}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c2}}}$$

令$\beta = \frac{u}{c}, \gamma = \sqrt\frac{1}{1-\beta^2}$，则$$x’=\gamma(x-ut)$$

自然，$y=y',z=z'$

时间变换公式

在$S'$参考系中

$$x = \gamma(x' + ut')$$

与$$x’=\gamma(x-ut)$$

联立

$$\begin{aligned} &x = \gamma(\gamma(x-ut)+ut')\\ \implies&x=\gamma^2(x-ut)+\gamma ut'\\ \implies&x(1-\gamma^2)+\gamma^2ut=\gamma ut'\\ \implies& t'=\gamma(-\frac{u}{c^2}x + t) \end{aligned}$$

同理可得$$t=\gamma(\frac{ux}{c^2}+t’)$$

洛伦兹变换的基本形式

至此，可以得出洛伦兹变换

$$\begin{cases} x' = \gamma(x-ut)\\ y'=y\\ z'=z\\ t'=\gamma(t-\frac{ux}{c^2})=\gamma(t-\frac{\beta}{c} x) \end{cases}$$

逆变换

$$\begin{cases} x = \gamma(x'+ut)\\ y=y'\\ z=z'\\ t=\gamma(t'+\frac{\beta}{c} x') \end{cases}$$

速度变换公式

$$v_x' = \frac{\mathrm{d}x'}{\mathrm{d}t'} = \frac{\mathrm{d}x'}{\mathrm{d}t}\cdot \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}t'}$$

根据$$\begin{cases}
x’ = \gamma(x-ut)\
t’=\gamma(t-\frac{u}{c^2}x)
\end{cases}$$

有$$v_x’=\gamma(v_x-u)/[\gamma(1-\frac{u}{c^2}v_x)]=$$

解得

$$v_x'=\frac{v_x-u}{1-\frac{u}{c^2}v_x}$$

对于$y$方向得运动，

$$v_y' = \frac{\frac{\mathrm{d}y'}{\mathrm{d}t}}{\frac{\mathrm{d}t'}{\mathrm{d}t}} = \frac{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}}{\frac{\mathrm{d}t'}{\mathrm{d}t}} = \frac{v_y}{\gamma(1-\frac{u}{c^2}v_x)}$$

同理有

$$v_z'=\frac{v_z}{\gamma(1-\frac{u}{c^2}v_x)}$$

加速度变换公式（略）

$$a_x =\frac{\mathrm{d}v_x}{\mathrm{d}t}\neq \frac{\mathrm{d}v_x'}{\mathrm{d}t'}=a_x'$$

相对论质量

由诺特定理有能量守恒、动量守恒和角动量守恒。

动量$\vec p = m\vec v$。假设有$S'$参考系中的一个静止粒子突然发生裂变，分裂的两个粒子分别向x轴正负半轴运动，速度为$u$。以沿x轴负方向的粒子为参考系$S$。

在$S'$参考系中，有$m_1' = m_2' = \frac{m'}{2}$，在$S$参考系中，由质量守恒有$m_1 + m_2 = m$。

根据洛伦兹变换，在$S$参考系中$v_1=0$，$v_2=\frac{2u}{1+\frac{u^2}{c^2}}$。则$m_2 v_2=mu=(m_1+m_2)u$

这里可以解得：

$$m_2 = \frac{m_1}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}$$

$m_1$是静质量，$m_2$是动质量。

也就是说

$$m = \frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}$$

相对论质能方程

根据$$\begin{cases}\mathrm{d}W = \vec F\cdot {\mathrm{d}\vec r}\\vec F = \frac{\mathrm{d} \vec p}{\mathrm{d} t}\end{cases}$$

可以得出$$\mathrm{d}W = \mathrm{d}(m\vec v)\cdot \vec v = \mathrm{d}m\vec v\cdot\vec v + m\mathrm{d}\vec v\cdot \vec v\tag 1$$

由于$$v\cdot v = \vec v\cdot \vec v$$

两边求微分有

$$2v\mathrm{d} v = 2\vec v\mathrm{d} \vec v\implies v\mathrm{d} v = \vec v\mathrm{d}\vec v$$

所以$$(1)\implies \mathrm{d} W = \mathrm{d}mv^2 + mv\mathrm{d}v\tag2$$

根据质量变换规律，$$m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c2}}}\implies m^2c2 = m^2v2 + m_0^2 c^2$$

两边求微分得到

$$2m\mathrm {d} m c^2 = 2m\mathrm d mv^2 + 2m^2v\mathrm d v\\\implies c^2 \mathrm d m = \mathrm d m v^2 + mv\mathrm d v\tag 3$$

结合$(2)(3)$，得到$\mathrm d W = c^2\mathrm d m$，也就是说$$\int_0^{E_k}\mathrm d W = c^2\int_{m_0}{m_1}\mathrm d m\\implies E_k = (m - m_0)c^2$$

所以相对论动能$E_k = (m - m_0)c^2$，质能方程$E = mc^2$。

相对论能量、动量关系

$$m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}\implies m^2c^4 = m^2v^2c^2 + m_0^2 c^4$$

根据$p=mv$，有

$$E^2 = p^2c^2 + E_0^2$$

光子的$E_0 = 0$，所以$\varepsilon = pc$。又有$\varepsilon = h\nu$，所以$p = \frac{h\nu}{c} = \frac{h}{\lambda}$。

分子动理论

• 平衡态：动态的平衡，宏观状态不改变；
• 稳定态：受恒定的外界影响。
• 涨落：分子越多，涨落越小。
• 热平衡：热接触后宏观状态不变。
• 热力学第零定律：A和B、B和C分别热平衡，则A和C热平衡。共同性质：温度

理想气体状态方程

在标准状态下$$\begin{cases}P_0 = 1.013\times 10^5,\mathrm{Pa}\T_0 = 273.15,\mathrm{K}\V_0 = 22.41\times 10^{-3} ,\mathrm{m^3/mol}\end{cases}$$

定义普适气体常量$$R = \frac{P_0V_0}{T_0}=8.31,\mathrm{J/mol\cdot K}$$

由于$$\frac{T}{T_0} = \frac{PV}{P_0V_0}$$

得到$1\,\mathrm{mol}$理想气体满足

$$PV = RT$$

$n\,\mathrm{mol}$理想气体满足

$$PV = \nu RT = \frac{m}{M}RT$$

其中$\nu$表示物质的量，$m$表示总质量。

定义玻尔兹曼常数

$$k_B = \frac{R}{N_A} = 1.38\times 10^{-23} \,J/K$$

则$$PV = \nu N_Ak_B T\implies P = \frac{\nu N_A}{V}k_B T = nk_B T$$

这里$n$表示单位体积分子数。

微观

• 分子无规则热运动的表现 - 布朗运动
• 分子之间有引力和斥力，所以有平衡位置。如果看作保守力，势能函数曲线有最小值$-E_B$，此时$F=0$，平衡位置。
• 有效直径：分子势能为0的距离。
• 若热运动平均动能$\gg E_B$，气态；$\ll E_B$：固态；$\sim E_B$：液态。

由于气体分子势能趋于零，可看作质点。

统计假设（条件为平衡态）

1. 体积均匀分布
2. 速度方向均匀分布（各向同性）

压强公式

假设单位体积速度$x$方向分量为$v_{ix}$的分子数有$n_i$个，则，$\mathrm d S$面积上$\mathrm d t$时间内撞到的$x$方向分量速度为$v_{ix}$的粒子总数为$$v_{ix}\mathrm d S\mathrm d t\times n_i$$

设一个分子质量为$m$，$\mathrm d S$面积上受到的冲量$$\mathrm d I = \sum_{v_{ix} > 0} 2\cdot (n_iv_{ix}\mathrm d S\mathrm d t)\cdot mv_{ix} = \sum_{i} mn_iv_{ix}^2\mathrm d S\mathrm d t\=nm\mathrm d S\mathrm d t\frac{\sum_{i} n_iv_{ix}^{2}{n}=nm\overline{v_x}2}\mathrm d S\mathrm d t$$

其中$v_x^2$表示分子$x$方向的速度平方平均。

压强$$P = \frac{F}{\mathrm d S} = \frac{\frac{\mathrm d I}{\mathrm d t}}{\mathrm d S} = nm\overline {v_x^2}$$

由于各向同性，$\overline{v_x^2} = \overline{v_y^2} = \overline{v_z^2} = \frac{1}{3}\overline{v^2}$

故$P = \frac{1}{3}nm\overline{v^2}$。

定义$\overline{\varepsilon_t} = \frac{1}{2}m\overline{v^2}$，则$$P = \frac{2}{3}n\overline{\varepsilon_t}$$

这是压强公式。只要认为分子和器壁是弹性碰撞就正确。
$\overline{\varepsilon_t}$是平均平动动能。

温度的统计意义

$$\begin{cases}p = \frac{2}{3}n\overline{\varepsilon_t}\\p = nk_B T\end{cases}$$

联立得到$$T = \frac{2}{3}\overline{\varepsilon_t}/k_B\implies \overline{\varepsilon_t} = \frac{3}{2}k_B T$$

得到平均平动动能和温度关系（只和温度有关）。

所以温度表示了平均平动动能！。

根据这个可以算出方均根速率

道尔顿分压定律

混合气体，各组分压强分别为$p_1, p_2, \cdots, p_n$，则$P = p_1 + p_2 + \cdots + p_n$。

用$p=\frac{2}{3}n\overline{\varepsilon_t}$，把$n$拆开可得。

自由度

暂时理解：每个自由度对应的物理量表示成一个关于时间的函数。

• 质点：$x,y,z$三个自由度；
• 刚体：质心坐标三个自由度 + 转轴角度两个自由度 + 转动速度一个自由度 = 6个自由度；
• 单原子分子：三个自由度；
• 刚性双原子分子：两个质点自由度6，一个距离约束，导致自由度是5；或者由于如果我们规定转轴为两分子连线的话，转动惯量为0，转动速度的自由度消失（绕其他轴转动可以看作转轴方向对时间的导数）。
• 刚性多原子分子：同刚体，6；
• 非刚性双原子分子：5+1=6；
• 非刚性双原子分子：$3n$（$n$为原子数）。

能量均分定理

根据三个平动动能的均分定理推广，得到各个自由度均分能量的能量均分定理（每个自由度能量都是$\frac{1}{2}k_B T$）。

这个定理只在宏观（微观不成立），且高温成立。（低温时，由于能级的量子化，振动自由度消失，均分定理不成立）

假设有$t$个平动自由度，$r$个转动自由度，$s$个振动自由度，总能量$\overline\varepsilon = (t+r+2s)\frac{1}{2}k_BT$。

如果考虑总动能，则$\overline{\varepsilon_k} = (t+r+s)\frac{1}{2}k_BT$。（振动动能和势能都是$\frac{1}{2}k_BT$。

总能量：

理想气体内能

温度不太高时（$<10^4\,\mathrm{K}$）不考虑保持不变的能量（比如说核能、原子结合能）。

$1\,\mathrm{mol}$理想气体的内能：

$$E = \overline{\varepsilon}\cdot N_A = \frac{t+r+2s}{2}RT$$

速率分布函数

设$N(v)$为速率小于等于$v$的粒子总数。

$$f(v) = \frac{\mathrm d N}{N\mathrm d v}$$

为速率分布函数

有$$\int_0^{\infty} f(v)\mathrm d v = 1$$

可见，$f(v)$表示速率为$v$的分子出现的概率密度。

则有$$\overline v = \int_0^\infty vf(v)\mathrm d v$$

同理$$\overline{v^2} = \int_0^\infty v^2f(v)\mathrm d v$$

对于速率处于$[v_1, v_2]$的分子，平均速率为

$$\overline v_{[v_1, v_2]} = \frac{\int_{v_1}^{v_2} vf(v)\mathrm d v}{\int_{v_1}^{v_2} f(v)}$$

速度分布函数

速度分布在$[v_x, v_x + \Delta v_x]\times[v_y, v_y + \Delta v_y]\times[v_z, v_z + \Delta v_z]$范围内的粒子密度的极限值记为

$$F(\vec v) = F(v_x, v_y, v_z) = \lim_{\substack{\Delta v_x\to 0\\\Delta v_y\to 0\\\Delta v_z\to 0}}\frac{N_{[v_x, v_x + \Delta v_x]\times[v_y, v_y + \Delta v_y]\times[v_z, v_z + \Delta v_z]}}{N\Delta v_x \Delta v_y\Delta v_z}$$

单位是$(m/s)^{-3}$

麦克斯韦速度分布律

由于三个速度分量的独立性和各向同性，应该有：

$$F(\vec v) = g(v_x)g(v_y)g(v_z)$$

其中$g$是某一方向的速度分布函数。

两边取$\ln$，得到$$\ln F(\vec v) = \ln g(v_x)+\ln g(v_y)+\ln g(v_z)$$

两边对$v_x$求导，得到

$$\frac{1}{F(\vec v)} \cdot F_{v_x}(\vec v) = \frac{1}{g(v_x)}\cdot g'(v_x)\tag 1$$

由于各向同性，$F(\vec v)$可以表示成关于$v = \left| \vec v\right| = \sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}$的函数$G(v)$，所以$(1)$式可写作

$$\begin{aligned}&\frac{1}{G(v)}\cdot \frac{\mathrm d G}{\mathrm d v}\cdot \frac{\mathrm d v}{\mathrm d v_x}\\=&\frac{1}{G(v)}\cdot \frac{\mathrm d G}{\mathrm d v}\cdot \frac{v_x}{v} = \frac{1}{g(v_x)}\cdot g'(v_x)\end{aligned}$$

于是我们就知道了：

$$\frac{\mathrm d G}{G(v)v\mathrm d v} = \frac{\mathrm d g}{gv_x\mathrm d v_x} = \frac{\mathrm d g}{gv_y\mathrm d v_y} = \frac{\mathrm d g}{gv_z\mathrm d v_z} = \lambda(v)$$

由于$v_x, v_y, v_z$取值的任意性，我们可以得到$\lambda$是一个常数。

于是就有$$\begin{aligned}
&\frac{\mathrm d G}{Gv\mathrm d v} = \lambda\\implies &\frac{\mathrm d G}{G} = \lambda v\mathrm d v\\implies &\ln G = \frac{1}{2}\lambda v^2 + C\\implies& G(v) = Ae^{-\alpha v^2}\end{aligned}$$

其中$\alpha = -\frac{\lambda}{2}$。同理有

$$g(v) = Ce^{-\alpha v^2}$$

所以说

$$F(v_x, v_y, v_z) = Ae^{-\alpha (v_x^2 + v_y^2 + v_z^2)}$$

由归一化条件

$$\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}F(v_x, v_y, v_z)\mathrm d v_x\mathrm d v_y\mathrm d v_z = 1$$

把$F$的表达式带入，有

$$\begin{aligned}&A\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\alpha v_x^2}e^{-\alpha v_y^2}e^{-\alpha v_z^2}\mathrm d v_x\mathrm d v_y\mathrm d v_z\\=&A\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\alpha v_x^2}\mathrm d v_x\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\alpha v_y^2}\mathrm d v_y\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\alpha v_z^2}\mathrm d v_z\\=&A(\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\alpha v^2}\mathrm d v)^3 = A(\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}})^3 = 1\end{aligned}$$

这里用了高斯积分的结论。推导可以这么推：

推导过程

计算以下积分

$$\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\alpha (x^2 + y^2)}\mathrm d x\mathrm d y\tag 2$$

令

$$\begin{cases} x = r\cos\theta\\ y = r\sin\theta \end{cases}$$

有$$
\left|\frac{\partial(x, y)}{\partial(r, \theta)}\right| = r
$$

则

$$\begin{aligned}(2) = &\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{+\infty} e^{-\alpha r^2} r\mathrm d r\mathrm d \theta\\= & \frac{1}{2}\int_0^{2\pi} \mathrm d \theta \int_0^{+\infty} e^{-\alpha r^2}\mathrm d r^2\\= & \frac{1}{2\alpha}\int_0^{2\pi}\mathrm d\theta\\=&\frac{\pi}{\alpha}\end{aligned}$$

只有$\alpha>0$时积分才存在

而同时

$$(2) = \int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\alpha ^2}\mathrm dx\int_{-\infty}^{+\infty}e^{\alpha y^2}\mathrm d y = (\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\alpha x^2}\mathrm dx)^2$$

得到

$$\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\alpha x^2}\mathrm dx = \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}$$

所以有$$A = (\frac{\alpha}{\pi})^{\frac{3}{2}}$$

对已知的高斯积分进行分部积分：

$$\begin{aligned} &\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\alpha x^2}\mathrm d x\\ =& 0 - \int_{-\infty}^{+\infty} x\cdot(-2\alpha x)e^{-\alpha x^2}\mathrm d x\\ =&2\alpha\int_{-\infty}^{+\infty} x^2e^{-\alpha x^2}\mathrm d x \end{aligned}$$

得到

$$\frac{\int_{-\infty}^{+\infty} x^2e^{-\alpha x^2}\mathrm d x}{\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\alpha x^2}\mathrm d x} = \frac{1}{2\alpha}$$

根据速率平方平均公式，

$$\begin{aligned} \overline{v_x^2} = &\frac{\int_{-\infty}^{+\infty}v^2g(v_x)\mathrm d v_x}{\int_{-\infty}^{+\infty} g(v_x)\mathrm d v_x}\\ = &\frac{\int_{-\infty}^{+\infty} v_x^2e^{-\alpha v_x^2}\mathrm d v_x}{\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\alpha v_x^2}\mathrm d v_x} = \frac{1}{2\alpha} \end{aligned}$$

而根据能量均分原理有$\frac{1}{2}m\overline{v_x^2} = \frac{1}{2}k_BT$得出

$$\frac{1}{2\alpha} = \frac{k_BT}{m}\implies \alpha = \frac{m}{2k_BT}$$

则$$
A = (\frac{m}{2\pi k_BT})^{\frac{3}{2}}$$

至此，可以得出

$$F(v_x, v_y, v_z) = (\frac{m}{2\pi k_BT})^{\frac{3}{2}}e^{-\frac{m}{2k_BT}(v_x^2+v_y^2+v_z^2)}$$

同理，在某个方向的分量

$$g(v) = (\frac{m}{2\pi k_BT})^{\frac{1}{2}}e^{-\frac{m}{2k_BT}v^2}$$

麦克斯韦速率分布函数

在三维空间中

$$f(v) = 4\pi v^2G(v) = 4\pi(\frac{m}{2\pi k_BT})^{\frac{3}{2}}e^{-\frac{m}{2k_BT}v^2}\cdot v^2$$

这个图反映了分布函数的曲线形式和最可几速率随温度的变化情况。

适用条件：高温、低密度、大质量粒子（不适用于电子气体、光子气体）

对于有转动、有振动的分子构成的气体，甚至分子之间有相互作用，或考虑重力作用时（为什么），麦克斯韦速率分布函数依然适用。

葛正权实验

计算单位面积单位时间的流出的气体分子数（泄流速率）

老师给的方法：

$$\Gamma = \int_0^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}v_x n F(v_x, v_y, v_z)\mathrm d v_x\mathrm d v_y\mathrm d v_z$$

得到$$\Gamma = \frac{1}{4}n\sqrt{\frac{8k_BT}{\pi m}} = \frac{1}{4}n\overline v$$

如果使用$x$方向的速度分布来计算，会简单一点：

$$\Gamma = \int_0^{+\infty}nvg(v)\mathrm d v = \frac{1}{2}n\int_0^{+\infty}(\frac{m}{2\pi k_BT})^{\frac{1}{2}}e^{-\frac{m}{2k_BT}v^2}\mathrm d v^2\\ = n\sqrt{\frac{k_BT}{2\pi m}} = \frac{1}{4}n\overline v$$

葛正权利用银气体泄流实验。

玻尔兹曼能量分布

和麦克斯韦速度分布类似，定义

$$B(\vec v, \vec r) = A'e^{-\frac{\varepsilon_k + \varepsilon_p}{k_B T}}\mathrm d v_x\mathrm d v_y\mathrm d v_z\mathrm d x\mathrm d y\mathrm d z$$

其中$e^{-\frac{\varepsilon_k + \varepsilon_p}{k_B T}} = e^{-\frac{\varepsilon}{k_B T}}$为玻尔兹曼因子。

$\varepsilon = \varepsilon_k + \varepsilon_p$可以推广到分子总能量，包括各种动能和势能。

我们认为理想气体分子间不存在势能，则有

$$\begin{aligned} \mathrm d N' = &N(\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}B(\vec v, \vec r)\mathrm d v_x\mathrm d v_y\mathrm d v_z)\mathrm d x\mathrm d y\mathrm d z\\ =&(NA'\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{\varepsilon_k}{k_B T}}\mathrm d v_x\mathrm d v_y\mathrm d v_z)e^{-\frac{\varepsilon_p}{k_B T}}\mathrm d x\mathrm d y\mathrm d z\\ =& n_0e^{-\frac{\varepsilon_p}{k_B T}}\mathrm d x\mathrm d y\mathrm d z \end{aligned}$$

$n_0$为之前那一坨积分积出来的一个常数。当$\varepsilon_p=0$时，$n_0 = \frac{\mathrm d N'}{\mathrm d x\mathrm d y\mathrm d z}$，所以$n_0$表示没有势能的情况下的分子数密度。

这里得到$$n = n_0 e^{-\frac{\varepsilon_p}{k_B T}}$$

是玻尔兹曼密度分布函数。

这说明，如果温度不变，重力场中的粒子数密度只和高度有关。由于$p=nk_B T$，气压$p$只和高度有关。

重力场通过力学推导也可以得到这个表达式：

设重力场中的理想气体在$z$高度时的密度是$\rho(z)$，压强是$p(z)$，有

$$\begin{aligned} &p + \mathrm d p + \rho g \mathrm d z = p\\ \implies & \mathrm d p = -\rho g\mathrm d z \end{aligned}$$

由于

$$\begin{cases} p = nk_B T \\ \rho = \frac{m_总}{V} = nm \\ \end{cases}$$

可以得出$p$和$\rho$的关系，从而得出。

这个关系也可以应用在某些非惯性系，惯性力作为保守力时。

玻尔兹曼能量分布说明处于基态的原子占绝大多数。

对于光子和电子，不适用。

热力学

理想气体内能：$$E = E(T) = \nu\frac{i}{2}RT$$

热力学第一定律

$$\mathrm d Q = \mathrm d E + \mathrm d A$$

其中$\mathrm d Q$为吸热增加能量，$\mathrm d E$为内能变化量，$\mathrm d A$为对外做功。

系统对外做功

$$\mathrm d A = F\mathrm d l = PS\mathrm d l = P\mathrm d V$$

所以

$$A = \int_{V_1}^{V_2} P\mathrm d V$$

热容

$$C = \frac{\mathrm d Q}{\mathrm d T}$$

$C_m = \frac{C}{\nu}$摩尔热容（单位为$\mathrm{J/(mol\cdot K)}$），$\mathrm d Q$为吸热量，$\mathrm d T$为温度变化量。

比热容$c$单位为$\mathrm{J/(kg\cdot K)}$，与摩尔热容的关系为$c = \frac{C}{M}$，其中$M$为物质的量。

对于理想气体，摩尔热容有两种：

1. 定容摩尔热容$C_{V, m} = (\frac{\mathrm d Q_m}{\mathrm d T})_{V}$，在体积不变的情况下一摩尔气体吸热量和温度变化的比值；

   $$C_{V, m} = (\frac{\mathrm d Q_m}{\mathrm d T})_{V} = \frac{\mathrm d E_m}{\mathrm d T} = \frac{\mathrm d (\frac{i}{2}RT)}{\mathrm d T} = \frac{i}{2}R$$

   可以得到

   $$\mathrm d E_m = C_{V,m}\mathrm d T$$

   这个式子在不等容时依然成立。
2. 定压摩尔热容$C_{P, m} = (\frac{\mathrm d Q_m}{\mathrm d T})_{P}$，在压强不变的情况下一摩尔气体吸热量和温度变化的比值。

   $$C_{P, m} = (\frac{\mathrm d Q_m}{\mathrm d T})_{P} = \frac{\mathrm d E_m + P\mathrm d V_m}{\mathrm d T} = \frac{\mathrm d E_m}{\mathrm d T} + \frac{P\mathrm d V_m}{\mathrm d T}$$

   由于$PV_m = RT$，有$\mathrm d (PV_m) = P\mathrm d V_m = R\mathrm d T$，所以有

   $$\frac{P\mathrm d V_m}{\mathrm d T} = R$$

   于是有

   $$C_{P, m} = C_{V, m} + R = \frac{i+2}{2}R$$

   这叫做迈耶公式。
3. 热容比

   $$\gamma = \frac{C_{P, m}}{C_{V, m}} = 1 + \frac{R}{C_{V,m}} = \frac{i+2}{i}$$

多方过程

热容量为常量的过程。

根据 $$\begin{cases}
C_m \mathrm d T = \mathrm d Q_m = \mathrm d(E_m + A_m) = C_{V,m}\mathrm d T + P_m\mathrm d V_m\
P_mV_m = RT\implies P_m\mathrm d V_m + V_m\mathrm d P_m = R\mathrm d T\
\end{cases}$$

得到

$$\begin{aligned}&P_m\mathrm d V_m + V_m\mathrm d P_m = RP_m\frac{\mathrm d V_m}{C_m - C_{V,m}}\\ \implies& (C_m - C_{V,m})P_m\mathrm d V_m + (C_m - C_{V,m})V_m\mathrm d P_m = RP_m\mathrm d T\\ \implies& (C_m - C_{P,m})P_m\mathrm d V_m + (C_m - C_{V,m})V_m\mathrm d P_m = 0 \end{aligned}$$

令$n = \frac{C_m - C_{P,m}}{C_m - C_{V,m}}$，则有

$$\begin{aligned} &nP_m\mathrm d V_m + V_m\mathrm d P_m = 0\\ \implies& n\frac{\mathrm d V_m}{V_m} + \frac{\mathrm P_m}{P_m} = 0\\ \implies& \frac{\mathrm d P_m}{P_m} = -n\frac{\mathrm d V_m}{V_m}\\ \implies& \ln P_m = -n\ln V_m + C\\ \implies& P_m = C'V_m^{-n}\\ \implies& P_mV_m^n = C' \end{aligned}$$

其中$n$为多方指数。

1. $n=0$，等压过程，$P_m = C'$；
2. $n=\infty$，等容过程，$V_m = C'$；
3. $n=1$，等温过程，$P_mV_m = C'$；
4. $n=\gamma$，绝热过程，$P_mV_m^\gamma = C'$。
   注：$\gamma = \frac{C_{P, m}}{C_{V, m}}$为热容比。
   由于$n = \frac{C_m - C_{P,m}}{C_m - C_{V,m}}\implies C_m = \frac{\gamma - n}{1-n}C_{V,m}$，所以有以上四个关系成立。

热机

在一个准静态过程

正循环是热机，逆循环是制冷机。
热机的效率为

$$\eta = \frac{A}{Q_1} = 1 - \frac{Q_2}{Q_1}$$

其中$Q_1$为高温热源吸收的热量，$Q_2$为低温热源放出的热量，$A$为对外做的功。

制冷系数$$w = \frac{Q_2}{A} = \frac{Q_2}{Q_1 - Q_2}$$

判断是热机还是制冷机要看要不要外接非热功率工作，所以空调不管是制冷还是制热都是制冷机。

卡诺循环

热力学第二定律

有两种表述

1. 不可能有一种热机，其工作物质在一个周期内从一个热源吸收热量$Q_1$，并将全部的热量转化为对外做的功$A$，而不向低温热源放出热量$Q_2$。（开尔文表述）
2. 低温物体不能自发向高温物体传递热量，而不引起其他变化。（克劳修斯表述）

这两种表述是等价的。

电磁学

电荷守恒

孤立系的电荷量守恒。

正负电子湮灭产生至少两个光子：以质心为参考系，如果产生一个光子，光子速度在质心系内为$c$，所以动量不为$0$，与动量守恒矛盾。

电荷量的相对论不变性

运动的电荷电荷量不变。

库伦定律

真空中，两个点电荷，库伦力大小为

$$F = k\frac{q_1q_2}{r^2}$$

• 矢量表示

$q_2$受到$q_1$的库伦力为

$$\begin{aligned} \vec F &= k\frac{q_1q_2}{r^2}\vec {e_r}\\ &= k\frac{q_1q_2}{r^3}\vec {r} \\ &= \frac{q_1q_2}{4\pi\varepsilon_0 r^3} \vec r \end{aligned}$$

其中$\varepsilon_0\approx 8.851\times 10^{-12} \rm C^2/\rm N\cdot \rm m^2$为真空介电常数。

电力叠加原理

点电荷系对一点电荷的库伦力为各个点电荷造成的库伦力的矢量和。

超距作用和近距作用

近代物理认为，都是传递粒子产生的力。

电磁作用通过光子传播。

均匀带电直线电场分布

$$\begin{aligned} E_y &= \int \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\cdot \frac{\mathrm{d} q }{x^2 + d^2}\cdot\sin\theta\\ &=\int\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\cdot \frac{\lambda\mathrm d x}{x^2 + d^2}\cdot\sin\theta\\ &=\int\frac{\lambda\mathrm d \frac{-d}{\tan\theta}}{4\pi\varepsilon_0 d^2}\cdot\sin^3\theta\\ &=\int_{\theta_1}^{\theta_2}\frac{\lambda\mathrm d \theta}{4\pi\varepsilon_0 d}\cdot\sin\theta\\ &=\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0 d}\cdot(\cos\theta_1 - \cos\theta_2)\\ \end{aligned}$$

同理

$$E_x = \frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0 d}\cdot(\sin\theta_2 - \sin\theta_1)$$

当$\theta_1\to 0, \theta_2\to \pi$时，有

$$\begin{cases} E_y = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 d}\\ E_x = 0\\ \end{cases}$$

当$\theta_1\to \frac{\pi}{2}, \theta_2\to \pi$时

有

$$\begin{cases} E_y = \frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0 d}\\ E_x = \frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0 d}\\ \end{cases}$$

当$d\to 0$时，需具体分析。

均匀带电圆环轴线电场分布

$$\begin{aligned} E &= \int \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\frac{\mathrm d q}{x^2 + R^2}\cdot\cos\theta \\ &= \int_0^{2\pi} \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\frac{\mathrm d \alpha\frac{Q}{2\pi}\cdot x}{(x^2 + R^2)^{3/2}} \\ &= \frac{xQ}{4\pi\varepsilon_0(x^2 + R^2)^{3/2}} \end{aligned}$$

若 $x\gg R$, $E = \frac{xQ}{4\pi\varepsilon_0 x^3(1 + (\frac{R}{x})^2)^{3/2}}\sim \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 x^2}\sim \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}$

均匀带电圆盘轴线电场分布

利用之前的结论积分：

$$\begin{aligned} E &= \int_0^R \frac{xQ\frac{2\pi r}{\pi R^2}}{4\pi\varepsilon_0(x^2 + r^2)^{3/2}}\mathrm d r \\ &= \int_0^R \frac{xQ}{4\pi R^2\varepsilon_0(x^2 + r^2)^{3/2}}\mathrm d (r^2 + x^2) \\ &= \frac{xQ}{4\pi \varepsilon_0R^2}\cdot (-2)[(R^2 + x^2) ^ {-1/2} - 1/x]\\ &= \frac{Q}{2\pi \varepsilon_0 R^2}[1 - \frac{1}{\sqrt{(\frac{R}{x})^2 + 1}}] \end{aligned}$$

令$\sigma = \frac{Q}{\pi R^2}$（面密度），则

$$E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}[1 - \frac{1}{\sqrt{(\frac{R}{x})^2 + 1}}]$$

若 $x \gg R$：

$$E \sim \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\cdot\frac{1}{2}\cdot(\frac{R}{x})^2 = \frac{\sigma R^2}{4\varepsilon_0 x^2} = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 x^2}$$

相当于集中在中心的点电荷；

若 $x \ll R$：

$$E \sim \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$$

若$R$无限大，则$E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$，这说明无限大圆盘产生匀强电场。

合理利用电场的拆补，可以解决例如无限大圆盘挖个孔的问题。

由此可得出平行板电容器（一正一负）板间匀强电场，板外无电场。

高斯定理

电通量：

$$\mathrm d \Phi = \vec E\cdot \mathrm d\vec S$$

其中$\mathrm d \vec S = \mathrm d S\vec e_n$。

对于任意曲面的电通量：

$$\Phi = \iint_S \vec E\cdot\mathrm d \vec S$$

规定闭合曲面法线向外为正。

立面角

面元$S$与某点$O$连接形成一个锥体。以$O$点为圆心，作一个球面，则锥体内球面元面积和球半径的平方比值为定值$\Omega$。

设$S$和$O$点与该面元连线的夹角为$\theta$，面元$S$到$O$的距离为$R$，则$\Omega = \frac{S\cos\theta}{R^2}$。

高斯定理推导

对于闭合面内的一个点电荷$q$，在面元$\mathrm d S$上产生的电通量为

$$\mathrm d \Phi = \vec E\cdot \mathrm d \vec S = \frac{q \mathrm d S\cos\theta}{4\pi\varepsilon_0 R^2} = \frac{q\mathrm d\Omega}{4\pi\varepsilon_0}$$

所以$q$对整个闭合面的电通量贡献为

$$\Phi = \int \frac{q\mathrm d \Omega}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\frac{4\pi R^2}{R^2}= \frac{q}{\varepsilon_0}$$

即使是有反复进出闭合面的情况，由于是奇数此，所以贡献不变。

同理可知在闭合面外的点电荷贡献为$0$。

高斯定理得证。

电荷运动时，电荷量不变，高斯定理依然成立（库伦定理不成立）。

高斯定理应用

高斯定理善于解决高度对称的问题。

均匀带电球面对外等效于集中于球心的点电荷；内部电场为$0$（取球面内任意高斯面）。

无限长均匀带电直线的电场强度

设线密度为$\lambda$，取圆柱面，高为$l$，半径为$r$。

根据高斯定理，$\Phi = \frac{\lambda l}{\varepsilon_0}$，则$E = \frac{\Phi}{S} = \frac{\lambda l}{\varepsilon_0 \times 2\pi r l} = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}$

无限大平面电场强度

设面密度为$\sigma$，取圆柱面，一半的高为$l$，半径为$r$。

根据高斯定理，$\Phi = \frac{\sigma \pi r^2}{\varepsilon_0}$, 则$E = \frac{\Phi}{S} = \frac{\sigma \pi r^2}{\varepsilon_0 \times \pi r^2\times 2} = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$。

微分形式*

一个电场内任意取一个长方体，长方体中心坐标$(x,y,z)$，长宽高分别为$\mathrm d x, \mathrm d y, \mathrm d z$，可用物理方法推出。

数学方法：

定义算子

$$\nabla = \vec i\frac{\partial}{\partial x} + \vec j\frac{\partial}{\partial y} + \vec k\frac{\partial}{\partial z}$$

高斯定理微分表达式：

$$\nabla\cdot \vec E = \lim_{\Delta V\to 0} \frac{1}{\Delta V} \oiint_{\partial (\Delta V)} \vec E \cdot d\vec S = \frac{\mathrm d \Phi}{\mathrm d V} = \frac{\mathrm d q}{\varepsilon_0\mathrm d V} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$$

其中$\rho$为电荷密度。

总结

$$\nabla\cdot \vec E = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$$

其中$\nabla\cdot \vec E$为电场散度。

点电荷某处电场散度

计算可得为$0$。

环流定理

静电场中，电场强度沿任意环流路径的环量为$0$，即

$$\oint_L \vec E\cdot \mathrm d \vec l = 0$$

证明：

$$\oint_L \vec E\cdot \mathrm d \vec l = \oint_L \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\vec e_r\cdot\mathrm d \vec l = \oint_L \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\mathrm d r = 0$$

微分形式：

$$\nabla \times \vec E = \lim_{\Delta S\to 0} \frac{1}{\Delta S}\oint_{\partial (\Delta S)} \vec E\cdot \mathrm d \vec l = 0$$

其中$\nabla \times \vec E$为电场旋度。

计算方法（直角坐标系）：

$$\begin{aligned} \nabla \times \vec E = &\left|\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k\\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\\ E_x & E_y & E_z\\ \end{matrix}\right|\\ =& (\frac{\partial E_z}{\partial y} - \frac{\partial E_y}{\partial z})\vec i + (\frac{\partial E_z}{\partial x} - \frac{\partial E_x}{\partial z})\vec j + (\frac{\partial E_y}{\partial x} - \frac{\partial E_x}{\partial y})\vec k \end{aligned}$$

形象理解：在XoY平面内，想要让一小刚体发生旋转，则$E_y$在该点沿$x$方向的变化率不为0，或者$E_x$在该点沿$y$方向的变化率不为0，且两者不低消，即$\frac{\partial E_y}{\partial x} - \frac{\partial E_x}{\partial y}\neq 0$。

可以得出结论，静电场是保守场。

电势

$$V_a - V_b = \int_b^a \vec E\cdot \mathrm d \vec l$$

电势梯度

沿等势面法线方向的电势变化最快，电场强度方向与电势梯度方向平行。

$$\vec E = -\frac{\mathrm d V}{\mathrm d l_n}\vec e_n = -\operatorname {grad} V$$

在平面直角坐标系下：

$$\begin{aligned} \operatorname{grad} V = &\left(\frac{\partial V}{\partial x}\vec i + \frac{\partial V}{\partial y}\vec j + \frac{\partial V}{\partial z}\vec k\right)\\ =& -E_x\vec i - E_y\vec j - E_z\vec k \end{aligned}$$

在平面极坐标系下：

$$\begin{aligned} \vec E\cdot\mathrm d \vec l = & (E_r\vec e_r + E_{\theta}\vec e_{\theta})\cdot(\mathrm d (r\vec e_r))\\ =& (E_r\vec e_r + E_{\theta}\vec e_{\theta})\cdot(\mathrm d r\vec e_r + r\mathrm d \theta \vec e_{\theta})\\ =& E_r\mathrm d r + E_{\theta}r\mathrm d \theta \\ =& -\mathrm d V \\ =& -\frac{\partial V}{\partial r}\mathrm d r - \frac{\partial V}{\partial \theta}\mathrm d \theta \end{aligned}$$

所以

$$\begin{cases} E_r = -\frac{\partial V}{\partial r}\\ E_{\theta} = -\frac{1}{r}\frac{\partial V}{\partial \theta} \end{cases}$$

电势的计算

一般来讲，可以用各个点电荷电势叠加，或者先定电势零点，然后电场强度积分。

特殊情况：如果电场强度的无限积分不收敛，则不可以以无限远为电势零点，如无限大平面和无限长直线。

电偶极子

一边正点电荷，一边负点电荷，电荷量都为$q$，距离为$l$，电偶极矩$\vec p = q\vec l$，其中$\vec l$的方向由负电荷指向正电荷。

某一点$P$的电势$V$为：

$$\begin{aligned} V =& \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r_{+}} - \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r_{-}} \\ =& \frac{q}{4\pi\varepsilon_0}(\frac{r_{+} - r_{-}}{r_+r_-}) \\ \end{aligned}$$

由于$l$相对于$r$是小量，可以简化为

$$\begin{aligned} V = & \frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\frac{l\cos\theta}{r^2} \\ = & \frac{\vec p\cdot\vec r}{4\pi\varepsilon_0 r^3} \\ \end{aligned}$$

求导可得场强表达式

$$\begin{cases} E_r = -\frac{\mathrm d V}{\mathrm d r} = \frac{ql\cos\theta}{2\pi\varepsilon_0 r^3} = \frac{p\cos\theta}{2\pi\varepsilon_0 r^3} \\ E_\theta = -\frac{\mathrm d V}{r\mathrm d \theta} = \frac{ql\sin\theta}{4\pi\varepsilon_0 r^3} = \frac{p\sin\theta}{4\pi\varepsilon_0 r^3} \\ \end{cases}$$

电偶极子在电场中的受力

如果在匀强电场，$\vec F = -q\vec E + q\vec E = \vec 0$；

如果不在匀强电场，则

$$\begin{aligned} \vec F =& -q\vec E(\vec r) + q\vec E(\vec r + \vec l) \\ =& q[\vec E(\vec r + \vec l) - \vec E(\vec r)] \\ \sim& q\nabla \vec E(\vec r) \cdot \vec l \\ =& (\nabla \vec E)\cdot \vec p\\ =& (\vec p\cdot \nabla) \vec E\\ \end{aligned}$$

这个对于动态电场也是正确的。

对于静态电场，有$\vec F = -\nabla W = -\nabla(-\vec p \cdot \vec E) = \nabla(\vec p \cdot \vec E)$。

两者相等的条件是旋度为$0$。

因为经计算可得$(\vec p\cdot\nabla)\vec E = \nabla(\vec p\cdot\vec E) - \vec p\times (\nabla\times \vec E)$

回顾：

$$\nabla\times \vec E = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k\\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\\ E_x & E_y & E_z \end{vmatrix}$$

电偶极子在非匀强电场中的运动

由于受到力矩作用，可以认为是正极指向电场线方向。此时有$\vec p\parallel\vec E$即$\vec p = \alpha \vec E\,(\alpha > 0)$，那么有

$$\begin{aligned}\nabla \left|\vec E^2\right| =& \nabla (\vec E^T\vec E) \\ =& (\nabla \vec E)\cdot 2\vec E \\ =& 2(\vec E\cdot \nabla)\vec E\\ =& 2\frac{1}{\alpha}(\vec p\cdot \nabla)\vec E\\ =& 2\frac{1}{\alpha}\vec F\\ \implies & \vec F = \frac{\alpha}{2}\nabla \left|\vec E^2\right|\\ \end{aligned}$$

所以会往电场强的地方运动。

导体

导体内部电子在外加电场下宏观移动，有宏观感应电荷分布现象。

假设外加匀强磁场$\vec E$，则内部会产生$\vec E'$（仅出现在导体内部），使得$\vec E + \vec E' = \vec 0$，即内部无电场。

根据高斯定理，有$\rho/\varepsilon_0 = 0$，也就是内部无电荷。

对于表面电荷，应用高斯定理：

$$\frac{\sigma S}{\varepsilon_0} = ES\implies \vec E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}\vec e_n$$

由这个可以得出，无限大均匀带电导体平板电荷面密度为$\sigma$（一侧为$\sigma/2$），则有

$$\vec E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$$

一般来讲，曲率越大，电荷面密度越大（如尖端处）。

空腔导体

导体空腔内无电荷时，取一个内部高斯面（框住内表面），可以得出内壁电荷总量为$0$。事实上，导体空腔内壁不带电荷。

导体空腔内有电荷$q$时，取同样的高斯面，由于导体内部没有电荷，所以内壁电荷加上里面的电荷总共为$0$，也就是说内壁带电荷$-q$。

里面和外面显然是孤立的，所以说外壁的分布和里面无关。

严谨证明可以用唯一性定理（还没学）。

但是，里面的电荷分布会对外面电场大小产生影响（会让外表面产生感应电荷）。

有个很神秘的小结论：导体球壳对其中心的电势只和导体球壳半径和它的电荷总量有关，因为积分的时候$R$不变。

无限大平板

假设无限大导体平板左右分别带电$\sigma_1, \sigma_2$，则一定有左边电场强度大小$E_1 = \frac{\sigma_1}{\varepsilon_0}$，右边电场强度大小$E_2 = \frac{\sigma_2}{\varepsilon_0}$，这是根据之前导体表面电场分布得到的。

做题的时候也可以分开，把左右两面分别拆成向左的和向右的（电场贡献各$1/2$），此时对于每一面都需要计算全空间的影响了。

总结：第一种方法是根据导体的性质得出的电场决定法，第二种方法是算出各个部分的电场贡献，再电场叠加法。

任意导体面电荷受其他电荷影响

导体上任意一个面元$\sigma\mathrm d S$，可以视作局部的无限大平板，也就是说对两边电场贡献都是$\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$。

对外的电场应当是$\frac{\sigma}{\varepsilon_0}$，所以说导体其他电荷在当前电荷处产生的电场应当是$\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$。

电容器

定义电容

$$C = \frac{Q}{\Delta V_{AB}}$$

其中$V_{AB}$是A, B两个导体组的电势差。

电容串联是$\frac{1}{C} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}$，并联是$C = C_1 + C_2$。

电流密度

电流密度$\vec j$表示单位时间，通过某单位横截面的电荷量，单位为$\mathrm{A/m^2}$。

令电导率为$\gamma$，则有$\vec j = \gamma \vec E$，也就是说某一点的电场乘上电导率$\gamma = \frac{1}{\rho}$就是电流密度。

则热功率密度：

$$w = nq\vec E\cdot\vec v = \vec j\cdot\vec E = \gamma E^2$$

剩下的后面好像写过了。

电介质

电介质中会发生极化现象。密度均匀，各向同性的电介质中点电荷产生的电场变为：

$$\vec E = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0\varepsilon_r r^3}\vec r$$

同理，Gauss定理也不再一般成立（因为高斯面处会产生极化电子，一半在里面，一半在外面）。

在外电场中，极化原子为了让力矩为$0$，一般来讲会保持$\vec p = \alpha \vec E$，其中$\alpha$为原子极化率。

定义极化强度$$\vec P = \lim_{\Delta V\to 0} \frac{\sum_{i} p_i}{\Delta V}$$，这里的$\Delta V$是宏观小微观大的量。单位为$\rm C/m^2$

设某个闭合曲面围成的体积内有$q'$的极化电荷，则有$$-q’ = \oiint \vec P \cdot \mathrm d S$$或者$$-\rho’ = \nabla\cdot P$$

极化电荷面密度就是$\vec P\cdot\vec e_n = P_n$。

介质中的高斯定律

$$\oiint \vec E\cdot \mathrm d S = \frac{q + q'}{\varepsilon_0}$$

或者微分形式

$$\nabla\cdot \vec E = \frac{\rho + \rho'}{\varepsilon_0}$$

当各向同性介质的电场不太强时，有关系：

$$\vec P = \Chi_e\varepsilon_0\vec E$$

其中$$\Chi_e = \varepsilon_r - 1$$

定义电位移矢量

$$\vec D = \varepsilon_0 \vec E + \vec P$$

已知

$$\begin{cases} \oiint \vec E\cdot \mathrm d S = \frac{q + q'}{\varepsilon_0} \\ \oiint \vec P\cdot \mathrm d S = -q' \\ \end{cases}$$

第一个式子乘以$\varepsilon_0$再加上第二个式子就可以得到

$$\oiint \vec D\cdot \mathrm d S = q$$

所以$\vec D$可以反映自由电荷（$\vec E$是总电荷，$\vec P$是表面的极化电荷）。

这就是介质中的高斯定理。

当电场不大强，且均匀各向同性，则有

$$\vec D = \varepsilon_0 \vec E +(\varepsilon_r - 1)\varepsilon_0\vec P = \varepsilon \vec E$$

（并非普遍成立！）

各种电荷比较

• 感应电荷：自由电荷重新分布
• 极化电荷：电介质极化产生
• 束缚电荷：有电荷的转移（摩擦等）

各向同性均匀弱电场内电介质边界条件

界面处没有自由电荷时，根据高斯定理

• $\vec D$不会中断；
• $\vec E$会中断。

在界面平行方向上，根据静电场环路定理，电场绕一圈做功为$0$，所以$\vec E$在平行界面方向上连续。

静电场能量

假设有$n$个点电荷，我们按照$1, 2, \cdots, n - 1$的顺序将它们移开，则有

$$W_e = \sum_{i = 1}^{n - 1} \sum_{j=2}^n \frac{q_iq_j}{4\pi\varepsilon_0 r_{ij}}$$

所以，对于每个$q_i$，它的静电能是

$$\frac{1}{2}\sum_{j\neq i} \frac{q_iq_j}{4\pi\varepsilon_0 r_{ij}} = \frac{1}{2}q_iU_i$$

对于每个$q_i$再无限拆分，则可以得出：

$$W_e = \frac{1}{2}\iiint_Q U\mathrm d q$$

而变化的电磁场中，电场能为

$$W_e = \frac{1}{2}\iiint \vec E\cdot \vec D\mathrm d V$$

电流相关

电流强度

$$I = \frac{\mathrm d q}{\mathrm d t}$$

电流密度

$$\vec j = \frac{\mathrm d I}{\mathrm d S}\vec e_n = nq\vec v_d$$

其中$n$为带电粒子数密度。

通过Drude模型可以推导出

$$\vec j = \gamma \vec E$$

其中$\gamma$为电导率。

焦耳定律微分形式

$$w = \vec f\cdot \vec v_d = nq\vec E\cdot \vec v_d = \vec j\cdot \vec E = \gamma \vec E^2$$

其中$w$是功率密度。

稳恒电场

稳恒电场指电荷分布保持稳定，但是电荷并非不运动的电场。

稳恒电场也满足高斯定律和环流定律，但是有能量的转换。

电容的一些推论

对于一个平行板电容器，有

$$\begin{aligned} D &= \sigma\\ E &= \frac{D}{\varepsilon} = \frac{\sigma}{\varepsilon}\\ U &= E\cdot d = \frac{d\sigma}{\varepsilon}\\ Q &= \sigma S\\ C &= \frac{Q}{U} = \frac{S\varepsilon}{d} \end{aligned}$$

然后，如果串联，有

$$\frac{1}{C} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}$$

并联有

$$C = C_1 + C_2$$

可以用$C = \frac{\mathrm d Q}{\mathrm d U}$来求出

如果两个电容并联，则自由电荷面密度不一定相同，但是只要$d$相同，$E$就相同（有极化电荷抵消）。

电容需要的注意点

如果电压不变，电源可能会做功，要考虑哦。

磁场的毕奥—萨伐尔定律

一段长度为$\mathrm d l$的载流导线，在空间某点$P$产生的磁感应强度为

$$\mathrm d \vec B = \frac{\mu_0}{4\pi}\cdot \frac{I\mathrm d l \sin\theta}{r^2}\vec e_B = \frac{\mu_0}{4\pi}\cdot \frac{I\mathrm d \vec l \times \vec r}{r^3}$$

其中$\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \rm T\cdot m/A$为真空磁导率。

磁距

磁距$\vec m = NIS\vec e_n$，其中$\vec S$为面积矢量，方向由右手定则确定。

对于圆环线圈积分，有

$$B = \frac{\mu_0}{4\pi}\int_0^{2\pi R}\frac{I\mathrm d l\cdot \sin\theta}{R^2+z^2} = \frac{\mu_0}{4\pi}\cdot\frac{I\cdot 2\pi R\cdot R}{(R^2+z^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2+z^2)^{3/2}}$$

当$z$远大于$R$时（离圆环很远），有

$$\vec B \sim \frac{\mu_0 I R^2\vec e_n}{2z^3} = \frac{\mu_0 \vec m}{2\pi z^3}$$

磁矩可用于求磁力矩。磁矩的适用范围：必须是匀强磁场，或者线圈非常小（可视为匀强磁场）。

无限长螺线管

设螺线管匝数密度为$n$，电流为$I$，则在螺线管内部有

$$B = \mu_0 n I$$

半无限长螺线管：

$$B = \frac{1}{2}\mu_0 n I$$

磁场基本规律

稳恒磁场中，有

$$\oiint \vec B\cdot \mathrm d \vec S = 0$$

因为任意电流系统可分为无限个电流元，每个电流元产生的磁场线都是闭合的，所以通过任意闭合曲面的磁通量为$0$。

微分形式：

$$\nabla \cdot \vec B = 0$$

这说明稳恒磁场是无源场。

安培环路定理

稳恒磁场中，沿任意闭合路径的磁场强度环量等于该闭合路径所围面积内的总电流乘以$\mu_0$，即

$$\oint_L \vec B\cdot \mathrm d \vec l = \mu_0 I_{enc}$$

微分形式：

$$\nabla \times \vec B = \mu_0 \vec j$$

螺线管

在螺线管内部，有$$\vec B = \mu_0 n I \vec e_n$$

在螺线管边缘，有$$\vec B = \frac{1}{2}\mu_0 n I \vec e_n$$

安培力公式

洛伦兹力公式：

$$\vec F = q\vec v \times \vec B$$

一个电流元受力：

$$\mathrm d \vec F = nqS\mathrm d l\vec v\times \vec B = I\mathrm d \vec l \times \vec B$$

安培力公式是洛伦兹力公式的宏观表现。

为什么安培力可以做功？原因是电流源做功。安培力只是传递能量的媒介。

安培力做功

$$A = I(\Phi_2 - \Phi_1)$$

其中$\Phi_1, \Phi_2$为电流元在磁场中起点和终点的磁通量。

这个公式只适用于稳恒磁场和恒定电流。

顺磁性和抗磁性

顺磁性物质在外磁场中会增强磁场，抗磁性物质在外磁场中会削弱磁场。

实验证明，均匀各向同性的介质中，有

$$\vec B = \mu_r \vec B_0$$

如果$\mu_r > 1$，则为顺磁性。
如果$\mu_r < 1$，则为抗磁性。
如果$\mu_r \gg 1$，则为铁磁性。
如果$\mu_r \approx 0$，则为完全抗磁体。

磁铁会吸引顺磁性物质，排斥抗磁性物质。

电子的磁矩

电子的磁矩分为自旋磁矩和轨道磁矩。

自旋磁矩$$\vec \mu_s = -g_s\frac{e}{2m_e}\vec S$$

轨道磁矩$$\vec \mu_l = -\frac{e}{2m_e}\vec L$$

分子磁矩

顺磁质的分子磁矩方向与外磁场方向相同，抗磁质的分子磁矩方向与外磁场方向相反。

磁化强度

定义磁化强度$$\vec M = \lim_{\Delta V\to 0} \frac{\sum_i \vec \mu_i}{\Delta V}$$

其中$\Delta V$为宏观小微观大的量。

磁化面电流的线密度为$$\vec \alpha’ = \vec M \times \vec e_n$$

可以得出磁化电流为：

$$dI' = \alpha\mathrm d l = \vec M \cdot \mathrm d \vec l$$

介质中磁高斯定理和安培环路定理

$$\vec B = \vec B_0 + \vec B'$$

其中$\vec B_0$为外磁场，$\vec B'$为介质中磁化电流产生的磁场。

所以可以得出介质中磁高斯定理（与真空中相同）：

$$\oiint \vec B\cdot \mathrm d \vec S = 0$$

介质中安培环路定理：

$$\oint_L \vec B\cdot \mathrm d \vec l = \mu_0 (\sum I + \sum I')$$

磁场强度

$$\oint_l \vec B\cdot\mathrm d \vec l = \mu_0 (\sum I + \sum I') = \mu_0 \left(\sum I + \oint_l \vec M\cdot \mathrm d \vec l\right)$$

定义磁场强度$$\vec H = \frac{1}{\mu_0}\vec B - \vec M$$

则有介质中安培环路定理：

$$\oint_L \vec H\cdot \mathrm d \vec l = \sum I$$

其中$I$是传导电流。

注意了，这只说明了传导电流为$0$时$\vec H$的旋度为$0$，并不能说明$\vec H = 0$。

有

$$\vec B = \mu_0\mu_r \vec H$$

$$\vec M = \chi_m \vec H = (\mu_r - 1)\vec H$$

极化强度和磁化强度

极化强度有

$$-q' = \oiint \vec P \cdot \mathrm d S$$

而磁化强度有

$$I' = \oint \vec M \cdot \mathrm d \vec l$$

极化强度有一个负号，所以是削弱。当$\mu_r > 1$时，磁化强度是增强。

表面情况

极化强度可以得出极化电荷面密度：

$$\sigma' = \vec P \cdot \vec e_n$$

而磁化强度可以得出磁化电流面密度：

$$\vec \alpha' = \vec M \times \vec e_n$$

微分形式

$$-\rho' = \nabla \cdot \vec P$$

这个负号说明极化电荷是削弱电场的，但$\vec P$的方向和$\vec E$方向相同。

$$\vec j' = \nabla \times \vec M$$

界面上的边界条件

虽然在同一介质内（不包含界面），高斯定理对$\vec H$、$\vec B$、$\vec M$均成立，但是在界面上，$\oiint_S \vec M\mathrm d S$不再等于$0$，因为界面上会有磁化电流。

所以在界面上只能使用对于$\vec B$的磁高斯定理，得出$\vec B$的垂直界面分量连续；

而安培环路定理对于$\vec H$成立（$\vec B$由于界面上的磁化电流不成立），得出$\vec H$的平行界面分量连续。

所以界面上的边界条件为：

$$\begin{cases} B_{1n} = B_{2n}\\ H_{1t} = H_{2t}\\ E_{1t} = E_{2t}\\ D_{1n} = D_{2n}\\ \end{cases}$$

电磁感应定律

$$\varepsilon = \oint_L \vec E\cdot \mathrm d \vec l = -\frac{\mathrm d \Phi_B}{\mathrm d t}$$

其中$\Phi_B = \oiint_S \vec B\cdot \mathrm d \vec S$为磁通量。

微分形式：

$$\nabla \times \vec E = -\frac{\partial \vec B}{\partial t}$$

动生电动势

$$\mathrm d \varepsilon = (\vec v\times \vec B)\cdot\mathrm d \vec l$$

$\mathrm d\vec l$单位时间扫过面积为$$\frac{\mathrm d \vec S}{\mathrm d t} = \vec v \times \mathrm d \vec l$$

进而得出$$\mathrm d \varepsilon = -(\vec B\times \vec v)\cdot \mathrm d \vec l \= -\mathrm d\vec B\cdot (\vec v\times \mathrm d\vec l) = -\frac{\vec B\cdot\mathrm d\vec S}{\mathrm d t} \= -\frac{\mathrm d \Phi_m}{\mathrm d t}$$

此结论只适用于稳恒磁场。

感应电场

$$\nabla \times \vec E = -\frac{\partial \vec B}{\partial t}$$

自感和互感

$$\varepsilon = -\frac{\mathrm d \Phi}{\mathrm d t}$$

由于$B\propto I$（毕奥定理），所以$\Phi \propto I$，所以有$$\Phi = L I$$

称$$L = \frac{\Phi}{I}$$为自感系数。

$$\varepsilon = -L \frac{\mathrm d I}{\mathrm d t}$$

互感系数：$M_{21}$表示$1$号线圈的电流变化在$2$号线圈中产生的感应电动势。一般有$$M_{21} = M_{12}$$

位移电流

位移电流密度：

$$\vec j_d = \frac{\partial \vec D}{\partial t}$$

可以得出位移电流：

$$I_d = \iint_S \vec j_d \cdot \mathrm d \vec S = \iint_S \frac{\partial \vec D}{\partial t} \cdot \mathrm d \vec S = \frac{\mathrm d}{\mathrm d t} \iint_S \vec D\cdot \mathrm d \vec S$$

定义全电流$I_t = I_c + I_d$，其中$I_c$是传导电流，则$I_t$在全空间不中断。

有

$$\oint_L \vec H\cdot \mathrm d \vec l = I_t = I_c + I_d$$

麦克斯韦方程组

$$\begin{cases} \nabla \cdot \vec D = \rho\\ \nabla \cdot \vec B = 0\\ \nabla \times \vec E = -\frac{\partial \vec B}{\partial t}\\ \nabla \times \vec H = \vec j + \frac{\partial \vec D}{\partial t}\\ \end{cases}$$

积分形式

$$\begin{cases} \oiint_S \vec D\cdot \mathrm d \vec S = q\\ \oiint_S \vec B\cdot \mathrm d \vec S = 0\\ \oint_L \vec E\cdot \mathrm d \vec l = -\frac{\mathrm d}{\mathrm d t} \iint_S \vec B\cdot \mathrm d \vec S\\ \oint_L \vec H\cdot \mathrm d \vec l = \iint_S \vec j\cdot \mathrm d \vec S + \frac{\mathrm d}{\mathrm d t} \iint_S \vec D\cdot \mathrm d \vec S\\ \end{cases}$$

总结：

首先最好理解的是$\oiint \vec D\cdot\mathrm d \vec S = q$和$\oiint \vec B\cdot \mathrm d \vec S = 0$。

其实这里为了统一，我们可以做这么一个变换：$\frac{\mathrm d }{\mathrm d t}\oiint \vec D\cdot\mathrm d \vec S = \frac{\mathrm d q}{\mathrm d t} = -I_c$，也就是流入这个闭合面的传导电流。

移项可得

$$\oiint \left(\frac{\partial \vec D}{\partial t} + \vec j_c\right)\cdot \mathrm d \vec S = 0$$

也就是说全电流是一个全空间无源的东西。

对于后面两个公式，一个就是磁生电效应：

$$\oint \vec E\mathrm d \vec l = -\oiint \frac{\partial B}{\partial t}\mathrm d \vec S$$

另一个是电生磁效应，改成用全电流表示的：

$$\oint \vec H\mathrm d \vec l = \oiint \left(\frac{\partial \vec D}{\partial t} + \vec j_c\right)\cdot \mathrm d \vec S$$

电磁波

折射率为

$$n = \sqrt{\varepsilon_r \mu_r}$$

光的性质

坡因廷矢量：

$$\vec S = \vec E \times \vec H$$

是电磁波的能流密度。

可以这样得出：

电场能：

$$w_e = \frac{1}{2}\vec E \cdot \vec D = \frac{1}{2}\varepsilon E^2$$

磁场能：

$$w_m = \frac{1}{2}\vec B \cdot \vec H = \frac{1}{2\mu} B^2 = \frac{1}{2}\mu H^2$$

根据电磁波波速$$u = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon \mu}} = \frac{c}{n}$$

以及小关系$$\sqrt{\varepsilon}E = \sqrt{\mu}H$$

则$w = w_e + w_m = \varepsilon E^2 = \mu H^2 = \frac{EH}{u}$。

这是单位体积的能量，也就是能量密度。

则$$S = wu = EH$$

电磁波强度：

$$I = \langle S \rangle = \frac{E_0 H_0}{2} = \frac{E_0^2}{2\mu_0 c}$$

辐射压强

质量密度：$$\rho_m = \frac{w}{c^2}$$

动量密度：$$\vec p = \rho_m \vec c = \frac{w}{c}\vec e_c = \frac{\vec S}{c^2}$$

辐射压强：$$P = \frac{F}{\Delta S} = \frac{pc\Delta S}{\Delta S} = pc = w$$

加速运动电荷的辐射

匀速直线运动的电荷不辐射。

偏振光

谱线宽度：

原子发光的单色波列长度$\Delta x$与谱线宽度$\Delta \lambda$成反比：

$$\Delta x = \frac{\lambda^2}{\Delta \lambda}$$

偏振度：

$$P = \frac{I_{\text{max}} - I_{\text{min}}}{I_{\text{max}} + I_{\text{min}}}$$

马吕斯定律：

$$I = I_0 \cos^2 \theta$$

可能还会有一个透过率$\gamma$。

旋光现象：对两个方向的圆偏振光，介质的折射率不同。

偏振片：让偏振方向变成特定方向。

全波片：附加$\lambda$的光程差，没卵用；

半波片：附加$\lambda/2$的光程差，旋转线偏振光。

四分之一薄片：附加$\lambda/4$的光程差，形成圆或者椭圆偏振光。

波片的原理是附加光程差$\delta = d(n_e - n_o)$。

布鲁斯特定律

如果$i+\gamma = \frac{\pi}{2}$，那么反射光是完全偏振光（偏振方向与界面平行）。

双折射

光轴：光在晶体里沿某个方向传播时不会发生双折射，则这个方向称为光轴。

主平面：光轴和光的传播方向构成的平面。

o光和e光：o光遵循折射定律，e光不遵循折射定律，即$\sin i/\sin \gamma\neq \text{const}$。

一定有：o光光矢量$\perp$o光主平面（进一步可以得出o光光矢量$\perp$光轴）；e光光矢量$//$e光主平面。

有：$n_o = \frac{c}{v_o}$和$n_e = \frac{c}{n_e}$。正晶体中$n_o<n_e$，负晶体中$n_o>n_e$。

这里的$n_e = \frac{\sin i}{\sin \gamma_e}$只有光轴垂直于入射面时满足。

干涉

合光矢量：

$$\vec E = \vec E_1 + \vec E_2$$

可以得出

$$E^2 = E_1^2 + E_2^2 + 2E_1E_2\cos\theta$$

所以

$$\begin{aligned} I &= I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} & \text{, 干涉加强} \\ I &= I_1 + I_2 - 2\sqrt{I_1 I_2} & \text{, 干涉减弱} \\ \end{aligned}$$

杨氏双缝干涉实验

由于$d, x\ll L$，所以$r_1\approx r_2 - d\sin\theta$且$\theta$非常小。

光程差$\delta = r_2 - r_1 = d\sin\theta$。

干涉加强条件：

$$\delta = k\lambda\implies \sin\theta = \frac{k\lambda}{d}$$

与原点距离

$$x = L\tan\theta \approx L\sin\theta = k\frac{L\lambda}{d}$$

所以条纹宽度

$$\Delta x = \frac{L\lambda}{d}$$

或者

$$\lambda = \frac{d\Delta x}{L}$$

干涉光强分布：

$$\begin{aligned} I &= 2I_0 + 2I_0\cos{\Delta \varphi}\\ &= 2I_0(1 + \cos{\Delta\varphi})\\ &= 4I_0\cos^2{\frac{\Delta\varphi}{2}}\\ &= 4I_0\cos^2{(\frac{\pi}{\lambda}d\sin\theta)}\\ \end{aligned}$$

洛埃镜

通过平面反射构造$S_2$，由于有半波损失（镜面的反射率更大），所以中心是暗纹（镜面和墙体接触处）。

菲涅尔双棱镜干涉

本质相同

相干长度

设$\Delta x$为真空中光波列的长度。有公式

$$\Delta x = \frac{\lambda^2}{\Delta \lambda}$$

其中$\Delta\lambda$为谱线宽度（$I_0/2$的区域，$\lambda$为中心波长。这个公式可以假设$\lambda + \frac{1}{2}\Delta\lambda$的第$k_m$级与$\lambda - \frac{1}{2}\Delta\lambda$的第$k_m + 1$级重合来证明。

当$\delta > \Delta x$时不能发生干涉。

记$\delta_m$为光波列长度，相干时间

$$\tau = \frac{\delta_m}{c}$$

薄膜等倾干涉

计算光程差：

$$\delta_{ABC} = \frac{2en_2}{\cos\gamma}\\ \delta_{AD} = 2en_1\tan\gamma\sin i - \lambda/2$$

注意A点处反射有半波损失。

所以有

$$\begin{aligned} \delta =& 2en_2(\frac{1}{\cos\gamma} - \sin\gamma\tan\gamma) + \lambda/2\\ =& \frac{2en_2}{\cos\gamma}(1 - \sin^2\gamma) + \lambda / 2\\ =& 2en_2\cos\gamma + \lambda / 2\\ =& 2e\sqrt{n_2^2 - n_1^2\sin^2 i} + \lambda / 2\end{aligned}$$

劈尖等厚干涉

$$\delta = 2ne$$

牛顿环

只有中间那个缝会产生干涉。

为什么呢？其他的东西几何量级太大了，不会产生明显的干涉现象。

迈克尔逊干涉仪

注意有半波损失（M2有一次反射是没有半波损失的，而M1两次反射都有半波损失）。

注意经过每个路径两次，所以加个玻璃管有两倍的光程。

偏振光干涉

先经过P1起偏器，再经过一个光轴与传播路线垂直，但和P1不垂直的晶体（此时o光和e光路线相同，但是速度不同），再经过P2检偏器（和P1不平行）。

相位差可能出现在两个阶段：1. 晶体内部，光程差$\delta_c = d(n_e - n_o)$；2. P2检偏器，作图分析，如果$A_e$和$A_o$的投影向量方向相反，则需要有半波损失$\lambda/2$。

晶片还可能厚度不均匀，此时不同厚度就可能出现消光和加强的现象，形成条纹。

色偏振可以测应力。

衍射

夫琅禾费单缝衍射

假设AB中间有$N + 1$束光（包括A、B），AB长度为$a$。

现在研究与水平方向夹角为$\theta$的光束，从A出发作垂线，垂线右边根据透镜不改变光程原理，光程相同；狭缝左侧光程也相同，所以A点出发的光和B点出发的光之间的光程差：

$$\delta = a\sin\theta$$

所以两束相邻的光之间的光程差为

$$\Delta\delta = \frac{a\sin\theta}{N}$$

对应的相位差为

$$\varphi = \frac{2\pi\Delta\delta}{\lambda} = \frac{2\pi a\sin\theta}{N\lambda}$$

可以化成一个多边形：

根据图中的$\beta$，$\left|\vec A\right|$可以表示为$2R\sin\beta$，而我们知道$2\beta = N\varphi$。解得

$$\begin{aligned} \beta &= \frac{\pi a\sin\theta}{\lambda} \\ \left|\vec A\right| &= 2R\sin\beta = 2R\sin(\frac{\pi a\sin\theta}{\lambda}) \\ \end{aligned}$$

此时我们令$N\to\infty$，设原始每个光束振幅为$A_1$，则

$$A_{\text{in}} = \lim_{N\to\infty} (NA_1) = 2\beta R$$

所以就可以得出

$$A_{\text{out}} = \left|\vec A\right| = 2R\sin\beta = A_{\text{in}} \frac{\sin\beta}{\beta}$$

根据$I\propto A^2$，有

$$I = I_0(\frac{\sin\beta}{\beta})^2$$

其中$\beta$是A点和B点对应的相位差。

注意！这里的$I_0$不是输入光强，而是中央亮斑光强！

夫琅禾费单缝衍射的性质

1. 中央亮纹最宽最亮（$\frac{\sin\beta}{\beta}\leq 1$，$\beta =0$当且仅当是中央亮纹）；
2. 暗纹满足（$\frac{\sin\beta}{\beta} = 0\iff \sin\beta = 0 \& \beta\neq 0\iff \beta = k\pi\& k\neq 0$），所以得到

$$\beta = \frac{\pi a\sin\theta}{\lambda} = k\pi\implies \sin\theta = k\frac{\lambda}{a}$$

得到$\theta$之后可以求出离中央亮纹的距离。
3. 次级明纹满足

$$\frac{\mathrm d}{\mathrm d \beta} (\frac{\sin\beta}{\beta})^2 = 0$$

解得

$$\tan\beta = \beta$$

4. 条纹位置$x = f\tan\theta$（有一束光光经过透镜中心，不发生路径变化，所以是焦距$\times$比例）。
5. 线宽度$\Delta x_0 = 2f\cdot \tan\theta_1 \approx 2f\sin\theta_1 = \frac{2f\lambda}{a}$。其他明文线宽度是中央的一半。

半波带法

把每个所有波分成每个差$1/2$波长的波带，可以得到以下结论：

1. $\delta = 0$，中央明文（准确）；
2. $a\sin\theta = \plusmn k\lambda\,,k = 1, 2, \cdots$（准确）；
3. $a\sin\theta = \plusmn (2k' + 1)\frac{\lambda}{2}\,, k' = 1, 2, \cdots$（近似）。

双缝衍射

不考虑干涉，有光强公式

$$I = 2I_0 + 2I_0\cos\varphi = 4I_0\cos^2\frac{\varphi}{2}$$

由于有透镜聚焦，所以干涉发出光源的位置不同，但是干涉图案独立相同。

光强公式变为

$$I = 4I_0\left(\frac{\sin\beta}{\beta}\right)^2\cos^2\frac{\varphi}{2}$$

设每个缝开口大小是$a$，缝间距离（上边到上边）是$d$，则

$$\beta = \frac{\pi}{a}\sin\theta = k\pi\\ \varphi/2 = \frac{\pi}{d}\sin\theta = n\pi$$

就会导致原本应该干涉加强的地方变成干涉减弱，也就是

$$k=n\frac{d}{a}$$

会产生缺级。

光栅衍射

先看多光束干涉

$$\Delta\delta = d\sin\theta\implies \Delta\varphi = \frac{2\pi}{\lambda}d\sin\theta$$

所以总相位差为

$$\varphi = N\Delta\varphi = \frac{2\pi N}{\lambda}d\sin\theta$$

当$\varphi = 2k\pi$时（$\Delta\varphi\neq 2k'\pi$），是干涉相消；$\varphi = k\pi$时，是干涉加强。

所以说$d\sin\theta = \frac{k\lambda}{N}$时，且$\frac{k}{N}$不是整数时，是暗纹；否则是主级大明条纹。

接下来研究光强：

根据几何关系，画出外接圆，可以得到

$$A = 2R\sin\frac{\varphi}{2}$$

又根据正弦定理：

$$\frac{\sin\Delta\varphi}{A_1} = \frac{\sin\left(\frac{\pi - \Delta\varphi}{2}\right)}{R}$$

得到

$$R = \frac{\sin\frac{\pi - \Delta\varphi}{2}}{2\sin\frac{\Delta\varphi}{2}\cos\frac{\Delta\varphi}{2}}A_1 = \frac{A_1}{2\cos\frac{\Delta\varphi}{2}}$$

代入前一个式子得到：

$$A = \frac{\sin\frac{N\Delta\varphi}{2}}{\sin\frac{\Delta\varphi}{2}}A_1$$

令$\alpha = \frac{\Delta\varphi}{2} = \frac{\pi}{\lambda}d\sin\theta$，可以得出

$$A = \frac{\sin N\alpha}{\sin\alpha} A_1$$

所以光强公式就是

$$I = I_1\left(\frac{\sin N\alpha}{\sin\alpha}\right)^2$$

所谓光栅衍射就是多光束干涉套一层衍射

由$a$的透光区域和$b$的不透光区域交替，光栅常数$d=a+b$。

根据之前结果有

主级大明条纹

$$d\sin\theta = k\lambda$$

暗纹公式

$$d\sin\theta = \frac{k'\lambda}{N}$$

或者

$$a\sin\theta = n\lambda$$

则缺级（主级大明条纹缺失）就是

$$k = \frac{dn}{a}$$

光栅的分辨能力

分辨$\lambda$和$\lambda + \Delta\lambda$的光，可以这么做：

1. $d\sin\theta= k(\lambda + \Delta\lambda)$；
2. $d\sin\theta = \frac{kN + 1}{N}\lambda$。

得出$R = \lambda/\Delta\lambda = kN$。

一般来讲，根据给定的$k$，求出$\lambda/\Delta\lambda$，再看会不会符合要求。

色散本领：$\frac{\mathrm d \theta}{\mathrm d \lambda}$，所以$d$越小，色散本领越强。

夫琅和费圆孔衍射

$D$代表圆孔直径，$\theta_1$表示第一级暗环的角度，则有

$$D\sin\theta_1\approx 1.22\lambda$$

恰能分辨：

$$R = \frac{1}{\theta_1} = \frac{D}{1.22\lambda}$$

思路：对于两个光源，求其夹角，如果夹角大于$\theta_1$就可以分辨，否则不可以分辨。

如果说要求干涉图样的直径，不要忘了干涉的时候主级大明纹是有两倍宽度的。

可以通过增大$\lambda$来增强分辨能力–射电望远镜。

X射线衍射

布喇格公式

$$2d\sin\varphi = k\lambda$$

这是加强条件，$2$的来源是下面的反射要多走两段光程。

光干涉衍射部分总结

双缝干涉：明条纹条件$d\sin\theta = k\lambda$，位移$x = 2f\tan\theta \approx 2f\sin\theta = k\frac{2f\lambda}{d}$，光强$I = 2I_0+2I_0\cos\varphi = 4I_0\cos^2\frac{\varphi}{2}$，$\varphi = \frac{2\pi}{\lambda}d\sin\theta$。

单缝衍射：暗纹条件$a\sin\theta = k\lambda$，光强公式$I = I_0\left(\frac{\sin\beta}{\beta}\right)^2$，$\beta = \frac{\pi}{\lambda}a\sin\theta$，半波带法中两个暗纹中点有一个明条纹。

其他有空再说，mmd没时间了。

量子光学

热辐射

单色辐出度$$M_\lambda(T) = \frac{\mathrm d E_\lambda}{\mathrm d \lambda}$$

即单位面积单位时间辐射出的波长为$\lambda$的能量密度。

辐出度$$M(T) = \int_0^{\infty} M_\lambda(T)\mathrm d \lambda$$

吸收比$$\alpha(T) = \frac{E^{{\text{吸收}}}{E}{\text{入射}}}$$

反射比$$r(T) = \frac{E^{反射}}{E\text{入射}}$$

对于波长为$\lambda$的单色吸收比$\alpha_\lambda$和$r_\lambda$也可以类似定义，一定有$\alpha_\lambda(T) + r_\lambda(T) = 1$。

基尔霍夫定律

好的吸收体也是好的发射体。

温度一定时单色辐出度和单色吸收比的比值与物质无关，即

$$\frac{M(\lambda, T)}{\alpha(\lambda, T)} = M_0(\lambda, T)$$

其中$M_0$表示的是黑体的辐出度。

实验证明$M_0(T) = \sigma T^4$，其中$\sigma$为stefen恒量。

极值波长$\lambda_m$和$T$成反比（$T\lambda_m = b$）。

普朗克公式

$$M_0(\nu, T) = \frac{2\pi\nu^2}{c^2}\frac{h\nu}{e^{\frac{h\nu}{kT}} - 1}$$

其中第一项$\frac{2\pi\nu^2}{c^2}$表示单位体积内频率在$\nu$到$\nu + \mathrm d \nu$的电磁波模态密度，第二项表示每个模态的平均能量。

推导（第二部分）：

普朗克假定$\varepsilon = h\nu$（能量子），也就是说频率为$\nu$的光的能量必须是$h\nu$的整数倍。

根据玻尔兹曼分布，能量为$\varepsilon$的光子在频率为$\nu$的光子中的占比正比于$e^{\frac{-\varepsilon}{kT}}$，所以说我们得到

$$\begin{aligned}\overline \varepsilon &= \frac{\sum_{n = 0}^{\infty} nh\nu e^{-\frac{-nh\nu}{kT}}}{\sum_{n = 0}^{\infty} e^{-\frac{-nh\nu}{kT}}}\\ &= \frac{\sum_{n = 0}^{\infty} nxkT e^{-nx}}{\sum_{n = 0}^{\infty} e^{-nx}} & \text{令}x=\frac{h\nu}{kT}\\ &= \frac{-xkT\frac{\mathrm d\sum_{n = 0}^{\infty}e^{-nx}}{\mathrm d x} }{\sum_{n = 0}^{\infty}e^{-nx}}\\ &= -xkT \frac{\frac{\mathrm d (1 - e^{-x})^{-1}}{\mathrm d x}}{(1 - e^{-x})^{-1}}\\ &= h\nu \frac{e^{-x}}{1 - e^{-\frac{h\nu}{kT}}}\\ &= h\nu\frac{1}{e^{\frac{h\nu}{kT}} - 1} \end{aligned}$$

这个公式的第二部分没有问题，但是第一部分$\frac{2\pi\nu^2}{c^2}$的推导中对密度的定义是关于频率的，所以不能简单将$\nu$用$\lambda$代替，而要对各个不同$\nu$或者$\lambda$积分后验证相等。

具体而言，由于$f(x)$和$g(y)$在描述同一个分布函数，即$\int_{x_1}^{x_2} f(x)\mathrm d x$和$\int_{y_1}^{y_2} g(y)\mathrm d y$在$y_1 = h(x_1), y_2 = h(x_2)$的时候应该是相等的，根据变量代换公式，有$\int_{y_1}^{y_2} g(y)\mathrm d y = \int_{x_1}^{x_2} g(y)h'(x)\mathrm d x$，所以说应该有$g(y)h'(x) = f(x)$，即$g(y) = f(x)\frac{\mathrm d x}{\mathrm d y}$。多元函数时这里应该换成雅可比行列式。

根据普朗克公式，可以得到

$$M(T) = \sigma T^4$$

和

$$T\lambda_m = b$$

爱因斯坦光量子

光电效应遏止电压$U_c$，则电子动能满足

$$\frac{1}{2}mv^2 = eU_c = h\nu - A$$

当$\nu < A/h$时不发生光电效应。

$\nu_0 = A/h$是金属的红线频率。

当频率不同、光强相同（单位时间单位面积总能量相同）时，如果都能发生光电效应，频率低的光电流强（粒子数多）。

康普顿波长

$$\Delta \lambda = \lambda - \lambda_0 = \frac{h}{m_0c}(1 - \cos \theta)$$

弗朗克赫兹实验

阴极发射电子，到低压汞蒸气管（加正向电压，加速），然后加反向电压，让电子减速，测电子到的多少（电流大小）。

发现增大正向电压，电流变大，但是会突然减小（刚好到能级能量差，激发了汞原子，电子能量损失）。

有好多个峰，每个下降就表示汞激发，并且可以看出有发光。

一般都是第一激发态，因为电子频繁和汞原子发生碰撞，一旦达到第一激发态就立马激发。

差不多$4.89\mathrm{eV}$的能量，也就是说每$4.89\mathrm {V}$来一次下降。

量子力学

德布罗意波

物质波满足：

$$\begin{cases}E = h\nu\\p = \frac{h}{\lambda}\end{cases}$$

令$\hbar = \frac{h}{2\pi}, k = \frac{2\pi}{\lambda}$

$$\begin{cases}E = \hbar\omega\\p = \hbar k\end{cases}$$

频率是不可观测的，但是波长有意义。

波函数

$$\Psi(x, t) = Ae^{i(kx - \omega t)} = Ae^{\frac{i}{\hbar}(px - Et)}$$

德布罗意波认为电子绕原子核是驻波，得出角动量量子化。

电子在无限深井里的物质波：驻波条件，得出量子化（空间越小，量子化越明显，能极差越大）。

电子干涉和衍射

首先是用类似布拉格干涉的方法，往晶格上发射电子；

$$\lambda = 2d\sin\phi = \frac{h}{p}$$

然后电子干涉、衍射等。

波函数

波函数的波强：

$$\left|\Psi\right|^2 = \Psi\Psi^*$$

在$t$时刻，粒子出现在某地的概率密度就是$$\left|\Psi(\bm x, t)\right|^2$$

波函数满足条件：单值、有限、连续。

单值：每个点一个值；
有限：任意区间可积；
连续：二阶导数存在。

波函数还要满足归一化条件：$\int \left|\Psi(\bm x, t)\right|^2\mathrm d V = 1$

双缝衍射时，两个单缝的波函数线性叠加。

海森堡不确定性原理

$$\Delta x\cdot\Delta p_x\geq \hbar/2$$

$$\Delta y\cdot\Delta p_y\geq \hbar/2$$

$$\Delta z\cdot\Delta p_z\geq \hbar/2$$

$$\Delta E\cdot\Delta t\geq \hbar/2$$

当$x$和$v_x$很大的时候，$\Delta x$和$\Delta v_x$可忽略（如电子平抛运动）。

薛定谔方程

波函数

$$\Psi(x, t) = Ae^{\frac{i}{\hbar}(p_xx - Et)}$$

求导得到

$$\begin{cases} \frac{\partial}{\partial t} \Psi(x, t) = -\frac{iE}{\hbar}\Psi(x, t)\\ \frac{\partial}{\partial x^2} \Psi(x, t) = -\frac{p_x^2}{\hbar^2}\Psi(x, t) \end{cases}$$

由$\frac{p^2}{2m} = E$可以得到

$$i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \Psi(\bm r, t) = -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2\cdot \Psi(\bm r, t)$$

推广到有势能的情况：

$$i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \Psi(\bm r, t) = [-\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 + U(\bm r, t)] \Psi(\bm r, t)$$

定义哈密顿算符

$$\hat H = -\frac{\hbar^2}{2m} + U(\bm r, t) = -(\frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2}) + U(\bm r, t)$$

有

$$i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \Psi(\bm r, t) = \hat H\Psi(\bm r, t)$$

定态

假设薛定谔方程中$\frac{\partial \hat H}{\partial t} = 0$，则可以设

$$\Psi(\bm r, t) = \Phi(\bm r)\cdot T(t)$$

代入含时薛定谔方程得到

$$i\hbar\Phi(\bm r)\frac{\mathrm d}{\mathrm d t}T(t) = \hat H\Phi(\bm r)T(t)$$

除以$\Phi(\bm r)T(t)$，得到

$$i\hbar \frac{\mathrm d T(t)}{\mathrm d t}\cdot\frac{1}{T(t)} = \frac{1}{\Phi(\bm r)}\hat H\Phi(\bm r)$$

然后用之前的最原始的方程，可以得到

$$i\hbar \frac{\mathrm d T(t)}{\mathrm d t} = ET(t)\\ \hat H\Phi(\bm r) = E\Phi(\bm r)$$

可以解得

$$T(t) = Ce^{-\frac{i}{\hbar}Et}$$

第二个方程不好求解，但是有

$$(-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + U(\bm r))\Phi(\bm r) = E\Phi(\bm r)$$

对于满足物理定义的$E$，求得的$\Phi(\bm r)$称为本征波函数，对应的$E$为本征能量值。所以定态波函数的形式为：

$$\Psi_E(\bm r, t) = \Phi_E(\bm r, t)e^{-\frac{i}{\hbar}ET}$$

可以看出定态波函数的概率密度函数（模长平方）和时间无关（分布稳定）。

一维势箱

对于一个无限深阱（$0<x<a$），有

$$U(x) = \begin{cases}0 & 0<x<a\\\infty & \text{otherwise}\end{cases}$$

对于阱内，有

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\mathrm d \Phi(x)}{\mathrm d x^2} = E\Phi(x)$$

得到

$$\frac{2mE}{\hbar^2}\Phi(x) + \frac{\mathrm d \Phi(x)}{\mathrm d x^2} = 0$$

令$k^2 = \frac{2mE}{\hbar^2}$（其实刚刚好$\hbar^2 k^2 = p^2 = 2mE$），然后二阶微分方程两个特解$\Phi(x) = \sin kx$和$\Phi(x) = \cos kx$得到

$$\Phi(x) = A\cos kx + B\sin kx$$

阱外有

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\mathrm d \Phi(x)}{\mathrm d x^2} + \infty\Phi(x) = E\Phi(x)$$

为了让等式左边有限，只有唯一解$\Phi(x) = 0$。

根据连续性一定有

$$\Phi(0) = 0, \Phi(a) = 0$$

得到

$$\begin{cases}A = 0\\ A\cos ka + B\sin ka = 0 \end{cases}$$

所以$A = B= 0$或者$A=0, \sin ka = 0\iff ka = n\pi$。

所以得到$$\frac{2mE}{\hbar^2}a2 = n^2\pi2$$

也就是

$$E = \frac{\pi^2\hbar^2}{2ma^2}n^2$$

继续深究$\Phi(x)$的形式：

$$\Phi(x) = B\sin kx$$

根据归一性，有

$$\begin{aligned} &\int_{-\infty}^{\infty} \Phi(x)^*\Phi(x)\mathrm d x \\ =& \int_{0}^{a} B^2\sin^2 (\frac{n\pi x}{a})\mathrm d x = 1\\ \implies& \frac{B^2}{2}a = 1\\ \implies& B = \sqrt{\frac{2}{a}} \end{aligned}$$

所以说得到

$$\Phi(x) = \begin{cases} \sqrt{\frac{2}{a}}\sin \left(\frac{n\pi x}{a}\right) & x\in(0, a)\\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$$

根据一开始得到的能量公式，可以看出$a$越小，$\Delta E$（相邻两个能级能量差）就越大。

态叠加原理

多个正交归一的本征函数的线性组合。

隧道效应

研究势能函数突变的情况，发现有概率穿越。

需要掌握边界条件连续、边界条件导数连续。

氢原子

用$U = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r}$作为势能函数，最后可以求出

$$E_n = - \frac{me^4}{32\pi^2\varepsilon_0^2\hbar^2} \cdot\frac{1}{n^2}$$

这些$E_n$称为本征能量

波函数在$\theta = 0, \pi$时有限，还可以得到角动量$L$和角量子数$l$的关系：

$$\begin{cases} L = \sqrt{l(l + 1)}\hbar & l = 0, 1, \cdots, n - 1\\ \end{cases}$$

$\phi$和$\phi + 2\pi$波函数相同，得到角动量在$z$轴方向上的投影$L_z$和磁量子数$m_l$的关系

$$\begin{cases} L_z = m_l\hbar & m_l = 0, \plusmn 1, \plusmn 2, \cdots, \plusmn l \end{cases}$$

Zeeman效应

能级由于磁量子数的不同，$l=1$时会分裂成三条。（外加磁场导致跃迁到基极释放的能量不同）

斯特恩-盖拉赫实验

发现除了以上自由度，基态的银原子还可以在磁场里产生两种不同的路径。

假设电子有自旋角动量：

$$S = \sqrt{s(s + 1)}\hbar\\ S_z = m_s\hbar$$

其中$s$的取值为$\frac{1}{2}$，$m_s$的取值为$\plusmn\frac{1}{2}$。

总结表：

量子数	符号	取值范围	物理意义	决定因素
主量子数	$ n $	$ n = 1, 2, 3, \dots $	能量$E_n = -13.6\frac{1}{n^2}\mathrm{eV}$	电子所处的电子层（如 K, L, M, … 层）。
角量子数	$ l $	$ l = 0, 1, 2, \dots, n-1 $	角动量大小$L = \sqrt{l(l+1)}\hbar$	对应亚层符号： $ l=0 $ → s 轨道（球形） $ l=1 $ → p 轨道（哑铃形） $ l=2 $ → d 轨道（花瓣形） $ l=3 $ → f 轨道（复杂形状）。
磁量子数	$ m_l $	$ m_l = 0, \plusmn 1, \plusmn 2, \cdots, \plusmn l $	$L$的$z$分量$L_z=m_l\hbar$	每个 $ l $ 对应 $ (2l+1) $ 个取值，即每个亚层中的轨道数目（如 p 轨道有 3 个方向：$ p_x, p_y, p_z $）。
自旋磁量子数	$ m_s $	$ m_s = +\frac{1}{2} $ 或 $ -\frac{1}{2} $	自旋角动量$S$的$z$分量$S_z = m_z\hbar$	每个原子轨道最多容纳两个自旋相反的电子（泡利不相容原理）。